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intorno ad un teorema di abel.

Si può dimostrare che l’espressione ${\frac {\mathrm {H} }{d}}$ è razionale³ rispetto a dⁿ. Infatti, dopo aver divisa la seconda linea del determinante H per d, se si moltiplicano le colonne seconda, terza, ... ultima per dⁿ, d^{n — 1}, ... d² e poi si dividono le linee terza, quarta, ... ultima per d², d³, ... d^{n — 1}, si ottiene

${\frac {\mathrm {H} }{d}}={\frac {1}{d^{\mathrm {n} }}}{\begin{vmatrix}m_{1}&q_{0}d^{\mathrm {n} }&q_{1}d^{\mathrm {n} }&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} }\\m_{2}&q_{1}d^{\mathrm {n} }&q_{2}d^{\mathrm {n} }&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} }\\m_{2}&q_{2}d^{\mathrm {n} }&q_{3}d^{\mathrm {n} }&\cdots &q_{0}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\m_{\mathrm {n} -1}&q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} }&q_{0}&\cdots &q_{\mathrm {n} -3}\end{vmatrix}}$.

Teorema di Abel. Sia F(x) = 0 l’equazione risultante dalla eliminazione della y fra le due equazioni algebriche

yⁿ — R (x) = 0,       q₀ + q₁ y + q₂ y² + ... + q_{n — 1} y^{n — 1} = 0

ove R (x) sia una funzione razionale ed intera di x; q₀, q₁, ... q_{n — 1} n funzioni razionali ed intere della stessa x, nelle quali però i coefficienti delle potenze della variabile siano quantità indeterminate, supposte funzioni di un’arbitraria t. Siano α₁, α₂, ... α_n e n radici dell’equazione xⁿ —  1 = 0, e facciasi d = ${\sqrt[{\mathrm {n} }]{\mathrm {R} (x)}}$. Pel lemma 1.º si ha

F (x) = ${\begin{vmatrix}q_{0}&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\q_{1}d&q_{2}d^{2}&q_{3}d^{3}&\cdots &q_{0}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\end{vmatrix}}$.

Moltiplicando le linee seconda, terza, ... ultima per α_r, α_r², ... α_r^{n — 1}, ed aggiungendo agli elementi della prima colonna quelli della seconda, della terza, ... dell’ultima moltiplicati per α_r, α_r², ... α_r^{n — 1}, e moltiplicando quindi di nuovo le linee prima, seconda, ... ultima per α_rⁿ, α_r^{n — 1}, ... α_r si ha

2)

F (x) = θr${\begin{vmatrix}\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} }&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} -1}&q_{2}d^{2}&q_{3}d^{3}&\cdots &q_{0}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{\mathrm {r} }&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\end{vmatrix}}$