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intorno ad un teorema di abel.

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determinante prodotto riescono ordinatamente divisibili per θ_n, θ₁, ... θ_{n —  1}; e si ha

DΔ = θ₁ θ₂ ... θ_n ${\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\alpha _{\mathrm {n} -1}&\alpha _{\mathrm {n} -1}^{2}&\cdots &\alpha _{\mathrm {n} -1}^{\mathrm {n} -1}\\1&\alpha _{\mathrm {n} -2}&\alpha _{\mathrm {n} -2}^{2}&\cdots &\alpha _{\mathrm {n} -2}^{\mathrm {n} -1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\cdots &\alpha _{1}^{\mathrm {n} -1}\end{vmatrix}}$,

ma il determinante che entra nel secondo membro di questa equazione è evidentemente eguale a $(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\Delta$; dunque

θ₁ θ₂ ... θ_n = $(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}$ D.²

Il teorema espresso in questa formola fu enunciato per la prima volta dal signor Spottiswoode¹; la dimostrazione è del prof. Brioschi, mio valente maestro.

Lemma 2.º Si considerino le a₀, a₁, ... a_{n— 1} come funzioni di una stessa variabile, derivando rispetto ad essa il determinante D, si ha

D' = D₁ + D₂ + ... + D_n

ove D_r è il determinante che si ottiene dal determinante D, sostituendo agli elementi della r esima colonna le loro derivate. Nel determinante D_r dispongansi le linee (n — r + 2) esima, (n — r + 3) esima, ... n esima, prima, seconda, ... (n — r + 1) esima in modo che riescano ordinatamente prima, seconda, ... (r — 1) esima, r esima, (r + 1) esima, ... n esima; indi si dispongano le colonne r esima, (r + 1) esima, ... n esima, prima, seconda, ... (r — 1) esima per modo che divengano prima, seconda, ... (n — r + 1) esima, (n — r + 2) esima, (n — r + 3) esima, ... n esima; si avrà

D_r = D₁

dunque

D' = n D₁ = n D₂ = ... = n D_n.

Lemma 3.º Sia

H = ${\begin{vmatrix}m_{0}&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\\m_{1}d&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\m_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}&q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}&q_{0}&\cdots &q_{\mathrm {n} -3}d^{\mathrm {n} -3}\end{vmatrix}}$

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1. Crelle, Journal für die Mathematik, Band 51.