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SULLE TANGENTI SFERO-CONIUGATE.1
Annali di Scienze matematiche e fisiche compilati da B. Tortolini, tomo sesto (1855), pp. 382-392.
Sia data una superficie qualsivoglia, rappresentata dall’equazione φ (x, y, z) = 0, e siavi in essa una linea (a) individuata; e s’imagini la superficie sviluppabile tangente la superficie qualsivoglia lungo quella linea. La retta caratteristica della superficie sviluppabile e la retta tangente la linea (a), nel punto comune a questa linea ed alla caratteristica, chiamansi, com’è notissimo, tangenti coniugate, e la teorica di esse è dovuta a Dupin.
In luogo della superficie sviluppabile immaginiamo ora una qualsiasi superficie inviluppante una famiglia di superficie, le quali abbiano un contatto di un ordine qualunque colla superficie φ = 0 lungo la linea (a); le rette tangenti questa linea e la caratteristica della superficie inviluppante hanno fra di loro una relazione di reciprocità, di cui la teorica delle tangenti di Dupin non è che un caso particolarissimo. È all’illustre prof. Bordoni che si deve il merito d’aver così trattata la quistione nel modo più generale possibile, mentre essa era ancora nello stato in cui l’aveva lasciata Dupin. Quest’importante generalizzazione forma lo scopo di una nota del suddetto professore, inserita nel tomo I degli Opuscoli Matem. e Fisici pubblicati in Milano nel 1832.
Qui si esporranno alcune proprietà, le quali hanno luogo nel caso che la superficie inviluppante abbia colla data un contatto di primo ordine, e le sue inviluppate siano sferiche.
Sia f (p, q, r) = 0 l’equazione delle inviluppate tangenti la superficie data lungo la linea (a); le due rette toccanti, l’una questa linea, l’altra la caratteristica della superficie inviluppante, nel punto ad esse comune, possono chiamarsi coniugate, denotando col nome di coniugate ordinarie quelle di cui Dupin ha dato la teorica. Siano a1, b1, c1; α, β, γ, i coseni degli angoli che le tangenti coniugate fanno con tre assi ortogonali; e
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