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SOLUTION DE LA QUESTION 464.²¹

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Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.^re série, tome XIX (1860), pp. 149-151.

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Soient $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ les distances d’un point quelconque à quatre plans donnés; il est évident que l’équation la plus générale d’une surface du second ordre circonscrite au tétraèdre formé par les quatre plans

$\alpha =0,$     $\beta =0,$     $\gamma =0,$     $\delta =0$

sera

$l\beta \gamma +m\gamma \alpha +n\alpha \beta +\lambda \alpha \delta +\mu \beta \delta +\nu \gamma \delta =0.$

Cette surface est coupée par le plan $\delta =0$ suivant la conique

$l\beta \gamma +m\gamma \alpha +n\alpha \beta =0.$

Soient $\alpha '$ $\beta '$, $\gamma '$ les distances d’un point quelconque du plan $\delta =0$ aux côtés du triangle $\delta =0$ ($\alpha =0$, $\beta =0$, $\gamma =0$): triangle formé par l’intersection du plan $\delta$ avec les plans $\alpha$, $\beta$, $\gamma$; on a

$\alpha =\alpha '\sin \alpha \delta ,$     $\beta =\beta '\sin \beta \delta ,$     $\gamma =\gamma '\sin \gamma \delta ,$

où $\alpha \delta$ est l’angle des plans $\alpha =\delta =0$, etc. Donc l’équation de la conique rapportée au triangle inscrit sera

${\frac {l}{\alpha '\sin {\alpha \delta }}}+{\frac {m}{\beta '\sin {\beta \delta }}}+{\frac {n}{\gamma '\sin {\gamma \delta }}}=0.$

(Salmon)

Les angles du triangle sont $\beta \delta \gamma$, $\gamma \delta \alpha$, $\alpha \delta \beta$, où $\beta \delta \gamma$^[1] exprime l’angle que fait l’in-

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1. $\beta \delta \gamma$ est l’angle qui, dans l’énoncé de la question, a été désigné par $(\beta \delta ,\gamma \delta )$.                                                                      P. [Prouhet]