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13.
SOLUTION DE LA QUESTION 435.20
Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.re série, tome XVIII (1859), pp. 199-204.
Sur les longueurs OA, OB, OC données dans l’espace, on prend respectivement les points a, b, c; les rapports Aa : Bb : Cc sont donnés. Trouver: 1.º l’enveloppe du plan abc; 2.º le lieu du centre de gravité du triangle abc.
D’après l’énoncé, les droites OA, OB, OC sont divisées en parties proportionnelles ou semblablement, et a, b, c sont des points homologues de ces divisions. Si l’on demande l’enveloppe du plan abc, la question est un cas particulier de la suivante:
Trois divisions homographiques étant données sur trois droites situées d’une manière quelconque dans l’espace, on demande l’enveloppe du plan de trois points homologues.
On trouve ce problème avec son corrélatif parmi les questions proposées (p. 298) dans l’ouvrage capital de M. Steiner: Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander1, Berlin, 1832.
La question corrélative est résolue par le théorème suivant de M. Chasles:
Si trois droites données dans l’espace sont les axes de trois faisceaux homographiques de plans, le lieu du point commun à trois plans homologues est une cubique gauche2 (courbe à double courbure du troisième ordre et de troisième classe) qui a deux de ses points sur chacune des droites données.
De là on tire, par le principe de dualité:
Si trois droites données dans l’espace sont divisées homographiquement, l’enveloppe du plan de trois points homologues est une surface développable de la troisième
