 |
Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta. | |
| intorno alle coniche inscritte in una stessa superficie sviluppabile ecc. | 103 |
Nel caso che la cubica gobba abbia un solo assintoto reale, la conica (2) (3) è iperbole o ellisse secondo che è positiva o negativa la quantita Δ. Formando (in ciò seguo il metodo del Trudi) questa quantità colle coordinate y, z del centro della conica medesima, si ha:
quindi la specie della conica dipende dal segno del trinomio, che è nel denominatore; ora basta osservare la (6) per accorgersi che l’equazione:
insieme colla (5) rappresenta una tangente dell’iperbole locale de’ centri. Dunque quel trinomio sarà positivo o negativo secondo che il punto di coordinate x, y, z centro della conica (2) (3) cade da una banda o dall’altra di questa tangente, cioè, secondo che cade nell’uno o nell’altro ramo dell’iperbole locale. Dunque:
Quando lo spigolo di regresso di una superficie sviluppabile di quart’ordine ha un solo assintoto reale, in questa sono inscritte infinite ellissi, infinite iperboli e due parabole; e i centri di queste coniche sono distribuiti nell’iperbole locale in modo che un ramo di questa contiene i centri delle ellissi, e l’altro ramo i centri delle iperboli.
Un piano qualunque contiene, com’è noto, una retta intersezione di due piani osculatori: i quali, per un teorema che io ho dimostrato in un’altra memoria1, sono reali o ideali secondo che quel piano sega la cubica in un solo punto reale o in tre. Dunque una cubica gobba ha due piani osculatori paralleli soltanto nel caso che vi sia un solo assintoto reale. È evidente che le coniche secondo cui questi due piani segano la sviluppabile sono parabole. Nella nostra notazione le due parabole corrispondono a Δ = 0, cioè a θ = α ± β√3; quindi per esse l’equazione (3) diviene:
quindi i diametri delle due parabole sono paralleli agli assintoti dell’iperbole locale
