Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/117

intorno alle coniche inscritte in una stessa superficie sviluppabile ecc.

103

Nel caso che la cubica gobba abbia un solo assintoto reale, la conica (2) (3) è iperbole o ellisse secondo che è positiva o negativa la quantita $\Delta$. Formando (in ciò seguo il metodo del Trudi) questa quantità colle coordinate $y$, $z$ del centro della conica medesima, si ha:

$\Delta ={\frac {{\frac {3}{2}}h}{{\frac {y}{b}}-2\alpha {\frac {z}{c}}-1}}$

quindi la specie della conica dipende dal segno del trinomio, che è nel denominatore; ora basta osservare la (6) per accorgersi che l’equazione:

${\frac {y}{b}}-2\alpha {\frac {z}{c}}-1=0$

insieme colla (5) rappresenta una tangente dell’iperbole locale de’ centri. Dunque quel trinomio sarà positivo o negativo secondo che il punto di coordinate $x$, $y$, $z$ centro della conica (2) (3) cade da una banda o dall’altra di questa tangente, cioè, secondo che cade nell’uno o nell’altro ramo dell’iperbole locale. Dunque:

Quando lo spigolo di regresso di una superficie sviluppabile di quart’ordine ha un solo assintoto reale, in questa sono inscritte infinite ellissi, infinite iperboli e due parabole; e i centri di queste coniche sono distribuiti nell’iperbole locale in modo che un ramo di questa contiene i centri delle ellissi, e l’altro ramo i centri delle iperboli.

Un piano qualunque contiene, com’è noto, una retta intersezione di due piani osculatori: i quali, per un teorema che io ho dimostrato in un’altra memoria^[1], sono reali o ideali secondo che quel piano sega la cubica in un solo punto reale o in tre. Dunque una cubica gobba ha due piani osculatori paralleli soltanto nel caso che vi sia un solo assintoto reale. È evidente che le coniche secondo cui questi due piani segano la sviluppabile sono parabole. Nella nostra notazione le due parabole corrispondono a $\Delta =0$, cioè a $\theta =\alpha \pm \beta {\sqrt {3}}$; quindi per esse l’equazione (3) diviene:

$\left({\frac {y}{b}}(\beta \mp \alpha {\sqrt {3}}+{\frac {z}{c}}(\alpha \mp \beta {\sqrt {3}})(\beta \pm \alpha {\sqrt {3}})\right)^{2}$ $+2(\beta ^{2}-\alpha ^{2}\pm 2\alpha \beta {\sqrt {3}}){\frac {y}{b}}$ $+2(\alpha \pm \beta {\sqrt {3}})(\beta ^{2}-\alpha ^{2}\mp 2\alpha \beta {\sqrt {3}}){\frac {z}{c}}$$-(\alpha \pm \beta {\sqrt {3}})^{2}=0$¹⁹

quindi i diametri delle due parabole sono paralleli agli assintoti dell’iperbole locale

---

1. Annali, gennaio-febbraio 1859.