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determinanti, sistemi di equazione di primo grado

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Un elemento di un determinante si dirà di posto pari o di posto dispari secondochè è pari o dispari la somma degli indici della riga e colonna cui appartiene l’elemento secondo le convenzioni del § 18 α, pagina 63.

E chiaramente: Di due elementi consecutivi di una stessa linea (riga o colonna) uno è di posto pari, l’altro è di posto dispari.

Sia dato un determinante $D$ di ordine $n$ e ne sia $a$ un elemento; sopprimiamo la riga e la colonna, cui appartiene $a$: otteniamo un determinante (minore) $D'$ di ordine $n-1$, di cui per ipotesi conosciamo il valore. La quantità $+D'$, se $a$ è di posto pari, o la quantità $-D'$, se $a$ è di posto dispari, diconsi il complemento algebrico di $a$.

Se un elemento di un determinante è indicato con una lettera minuscola seguita da uno o più indici, e se non vi è a temere alcuna ambiguità, molto spesso il suo complemento algebrico si indica con la corrispondente maiuscola seguita dagli stessi indici. Così, per esempio, se

(1)	$D={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}$,

si scrive

$A_{1}=+{\begin{vmatrix}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}=b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3}$,

$B_{3}=-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}=a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}$

$C_{1}={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}=a_{2}b_{3}-b_{2}a_{3}$, eccetera

Teorema I. Se noi cambiamo tutti gli elementi di una linea, i loro complementi algebrici non cambiano.

E ciò perchè per formare il complemento algebrico di un elemento di sopprimono proprio le due linee cui appartiene l’elemento stesso.

Osservazione. Sia data una successione di oggetti, per esempio $a,b,c,d,e,f,g,h,k$.

Scegliamone due, uno di posto $r$, l’altro di posto $\rho \not =r$; per esempio l’elemento $d$ di posto $r=4$, e $g$ di posto $\rho =7$. Sia $r'$ il posto del primo elemento, quando si cancelli il secondo, e $\rho '$ il posto del secondo quando si cancelli il primo. Nell’esempio precedente $r'=4$ è il posto di $d$ nella successione $a,b,c,d,e,f,h,k$

5 — G. Fubini, Analisi matematica.