Pagina:La fisica dei corpuscoli.djvu/68

60

III. La teoria cinetica dei gas

Ricordiamo che questo valore corrisponde all’ipotesi fatta che tutte le molecole del gas siano ferme e una sola si muova fra di esse. Se si vuole il valore di $\lambda$ corrispondente al caso vero il valore dato dalla 48) sarà evidentemente troppo grande e si dovrà ridurre secondo un fattore $k$ che si potrà determinare in vari modi.

Scriviamo in generale che il cammino libero medio sarà

49)	$\lambda \,=\,{\frac {k}{\pi \,n\,\varrho ^{2}}}$

in cui $k<1$.

Il Clausius trova per $k$ il valore 3/4. La dimostrazione che egli ne da si basa su questo ragionamento. La probabilità che una molecola in un tempuscolo $dt$ ne incontri un’altra è certo proporzionale alla velocità con cui la molecola si muove. Se tutte le molecole sono ferme e una sola si sposta con la velocità $c$ la probabilità detta sarà proporzionale a $c$, ma se anche le altre molecole si muovessero quella probabilità sarebbe proporzionale alla velocità relativa della molecole rispetto alla velocità delle altre.

Ebbene se tutte le molecole si muovono in tutte le direzioni ma con la velocità comune $c$ il valore che prende la velocità relativa è precisamente $4c/3$. Ciò significa che la probabilità di incontrare una molecola nel tempuscolo $dt$ è cresciuta dal fattore 4/3, e quindi il numero degli urti che darà in un secondo sarà cresciuto nello stesso rapporto. Ma allora la lunghezza dei tratti rettilinei della traiettoria è diminuita e precisamente secondo il fattore 3/4. Così il Clausius giunge al valore

50)	$\lambda \,=\,{\frac {3}{4}}\,{\frac {l^{3}}{\pi \,\varrho ^{2}}}$