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tazione nel mondo esteriore. Fra queste sono quelle delle parallele. Sul principio del secolo scorso Gauss, Lobatschewsky e G. Bolyai hanno fondata una geometria sull’ipotesi che da un punto si possano condurre due rette parallele ad una retta, anzichè una sola, e perciò anche tutte le altre comprese fra le due prime; ed il Riemann costruì un’altra geometria sull’ipotesi che da un punto non si possa condurre alcuna parallela ad una retta. Una dimostrazione della possibilità logica dell’ipotesi del Lobatschewsky e del Bolyai fu data dal Beltrami; egli trovò nello stesso spazio euclideo una superficie, la pseudosfera, che rappresenta con tutte le sue proprietà il piano della nuova geometria; allo stesso modo che il piano del Riemann, quando due rette s’incontrano in due punti opposti, può essere rappresentato dalla superficie sferica dello spazio euclideo, oppure da una superficie analoga, se due rette s’incontrano in un solo punto10. E mentre la retta nello spazio di Euclide e del Lobatschewsky è aperta, e quindi infinita, invece è chiusa nello spazio del Riemann, e perciò finita, come lo è una circonferenza, anche di raggio grandissimo.
Il Gauss, convinto dell’origine sperimentale della geometria, in un tempo nel quale il kantismo e il puro idealismo trionfavano, nulla pubblicò sulla geometria non euclidea perchè, come scriveva, temette le strida dei beoti. Ma la possibilità geometrica dell’ipotesi non significa ancora la possibilità fisica. Le tre geometrie in un campo piccolissimo dànno con grande approssimazione gli stessi risultati; onde l’essere la geometria di Euclide verificata con molta approssimazione nel campo delle nostre osservazioni esteriori, piccolissimo in con-
