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che «en étudiant les definitions de la géométrie, on voit qu’on est obligé d’admettre, sans les demontrer, non seulement la possibilitè de ce mouvement, mais encore quelques unes des ses propriétés».
(8) Vedi Pasch: Ueber neuere Geometrie — A. Fondamenti di Geometria, Appendice.
(9) Due tratti a e b si dicono finiti fra loro quando: se a > b vi è sempre un numero intero n tale che b n > a.
Nella geometria non-archimedea esistono anche segmenti a e b tali che non vi è alcun numero n intero finito, per quanto grande esso sia, che il multiplo di b secondo il numero n sia maggiore di a. Allora il segmento a dicesi infinito rispetto a b e b infinitesimo rispetto ad a — V. A. Fondamenti di Geometria, introduz. ecc.
(10) La superficie sferica verifica la possibilità logica della geometria del Riemann, quando due rette che si incontrano in un punto abbiano un altro punto comune. Se chiamiamo rette i circoli massimi, mantenendoci sulla superficie della sfera, noi vediamo che questa superficie soddisfa appunto alle proposizioni fondamentali del piano euclideo tranne a quella delle parallele, perchè non esistono sulla sfera due circoli massimi paralleli, chè a due a due questi circoli si incontrano sempre in due punti.
La stella di rette, sostituendo la retta al punto, il piano della stella alla retta del piano (come il piano all’infinito improprio dello spazio euclideo), ci dà invece una rappresentazione del piano del Riemann, nel quale due rette si incontrano in un punto solo.
Altre prove della geometria del Lobatschewsky e del Riemann furono date anche per lo spazio ricorrendo alla geometria a più di tre dimensioni. Vedi, ad es., A. Fond. di Geometria. Appendice.
(11) Il signor Pasch che tentò di fondare la geometria, nella sua opera citata, sul puro empirismo, è pure condotto nel suo bel libro alle tre ipotesi delle parallele.
(12) Il Poincaré (l. c. a) sostiene che nessuna nuova esperienza possa contraddire nè l’ipotesi euclidea nè le altre due. Ricorrendo all’astro-
