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scienza, nè si potrebbe costruire un’aritmetica senza di essa e le sue conseguenze necessarie. Così nel giudizio che due cose sono eguali fra loro non vediamo nettamente quale parte spetti all’esperienza e quale al pensiero. Una risposta esauriente non la conosco, né oserei darla io3.
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In altro modo si presenta la genesi matematica dei principî della geometria e della meccanica, che sono scienze sperimentali in quanto i loro primi oggetti sono suggeriti dall’esperienza. La verità in queste scienze si fonda sull’armonia del pensiero cogli oggetti fuori di esso, e si è costretti a ritenere falso tutto ciò che contraddica alle leggi del pensiero e dell’oggetto stesso.
La geometria ha la sua origine nell’osservazione diretta degli oggetti del mondo esteriore, che è lo spazio fisico, e dall’intuizione di essi trae le sue prime verità indimostrabili e necessarie al suo svolgimento teoretico, che sono gli assiomi; come, ad es., la proposizione che per due punti passa una sola retta. Eppure, per essere esatta, la geometria deve rappresentare gli oggetti forniti dall’osservazione per mezzo di forme pure astratte e gli assiomi con ipotesi bene determinate, rese cioè indipendenti dall’intuizione, cosicché la geometria diventi parte della matematica pura, ossia dell’estensione astratta, dove il geometra proceda nelle sue costruzioni come nella matematica pura, senza più occuparsi se esse abbiano o no una rappresentazione esteriore finché non le applichi al mondo fisico.
L’esattezza della geometria sarà perciò tanto maggiore quanto più sicura sarà quella degli assiomi sugge-
