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NOTE
(1) Anche questo dimostra quali conseguenze abbia nel pensiero di coloro, che non proseguono gli studî matematici oltre la scuola classica, un insegnamento di matematica razionale elementare che pretende di avere per fine di insegnare a ragionare esattamente, e contiene invece, senza alcuna avvertenza, gravi errori ed incertezze logiche nei concetti e nelle dimostrazioni fondamentali.
(2) E ciò indipendentemente, così pel numero come per lo spazio o pel moto, da ogni ipotesi filosofica intorno alla genesi di queste idee, anche se per la formazione della prima idea di numero è necessaria l’esperienza, o se per quella dello spazio l’esperienza non fosse necessaria — V. A. Fondamenti di Geometria, Padova 1891 — Trad. tedesca di A. Schepp, ed. Teubner, Lipsia 1894.
(3) Se pure si ammette che l’idea di successione, anche di oggetti astratti successivamente pensati, ottenuti per es. colla ripetizione dello stesso atto del pensiero, provenga dalle sensazioni, che, secondo l’Ardigò, ne danno il ritmo, il passaggio però dalla successione limitata fornita dalle sensazioni a quella illimitata (nei miei Fond. ho distinto fin dal principio diverse specie di successioni illimitate - pag. 12 e 16) dipende, se vuolsi, da una legge mentale di generalizzazione, colla quale dai casi particolari, ad es. dall’aggiunta di un’unità ad un dato numero, passiamo al caso generico, cioè ad ogni numero; ma questa legge di generalizzazione, se è suggerita dall’esperienza, appare però un prodotto proprio del pensiero. E il concetto dell’illimitato è fondamentale, perchè esso ci fornisce dapprima l’infinito in potenza, e insieme col principio che ogni cosa generata
