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quella dell’estensione astratta, da non confondersi con quella spaziale. Un’altra grande categoria di scienze matematiche esatte è quella ove gli oggetti sono forniti o risvegliati in noi dall’esperienza: la scienza dello spazio geometria, la scienza del moto o meccanica2.
La matematica pura è per noi esatta. La verità nella scienza pura scaturisce dall’armonia dei diversi atti del pensiero, e la libertà dello spirito nelle sue creazioni è limitata soltanto dal principîo di contraddizione. Onde un’ipotesi è possibile quando non vi sia contraddizione colle premesse o colle sue conseguenze. Il matematico assomiglia spesso a un viandante che, percorrendo la sua strada, si trovi dinanzi a due ramificazioni di essa, sicché gli sia necessaria un’ipotesi, per seguire l’uno piuttosto che l’altro cammino.
Se il matematico comincia da principî, da operazioni e da leggi della mente e dell’esperienza, consentite universalmente, e con esse costruisce le sue prime forme indipendentemente dalle varie ipotesi filosofiche che si contendono il campo intorno alla teoria della genesi di quei principî, di quelle operazioni e di quelle leggi; egli deve peraltro rigettare quelle ipotesi e deduzioni filosofiche che contrastino con le sue premesse e colle loro conseguenze.
La matematica pura non rigetta che il falso, ma la dimostrazione della falsità di un’ipotesi, o di una deduzione, deve essere matematica, o, in altre parole, deve discendere dalle premesse e dal principio di contraddizione; ma non può essere fondata su questa o quella ipotesi filosofica intorno alla genesi delle premesse medesime. E se il matematico, come abbiam detto, ha da seguire un metodo filosofico nella costruzione delle sue forme
