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capitolo vi

E codesto indirizzo giunge con Poisson alla costruzione di una dottrina che, sotto il nome di Meccanica fisica, si contrappone alla Meccanica analitica di Lagrange, tentando di ridurre sistematicamente la nozione dei legami a quella delle forze.

Nel 1821 Navier, riattaccandosi alle vedute di Poisson, sottoponeva per primo ad una trattazione analitica i principii della teoria dell’elasticità dei solidi; i quali venivano poi sviluppati, secondo varie vedute, da Cauchy, Poisson, Green e Lamè.

Importa di esaminare più da vicino le conclusioni di questi studii.

Immaginiamo di partire dalle ipotesi seguenti:

a) 1) i punti materiali costituenti un solido sono fissi nello stato d’equilibrio;

2) la distribuzione della materia è omogenea;

3) le forze interne risultano da azioni elementari fra le particelle del corpo e sono centrali.

Si possono allora scrivere le equazioni dell’equilibrio dei solidi elastici, ed in queste figurano 15 coefficienti indipendenti. Se il corpo è isotropo, i coefficienti si riducono ad uno solo, ed in particolare si trova che il coefficiente di compressibilità cubica e quello di trazione stanno fra loro nel rapporto 3 : 2.

A queste conseguenze delle vedute di Navier e di Poisson si contrappongono i resultati della trattazione più generale secondo il principio dei lavori virtuali (cap. V, § 26).

Si ammetta che:

b) 1) i punti di un solido elastico sieno soggetti, oltrechè alle forze esterne applicate, e alle forze di massa, a forze interne sulla cui origine non si fa alcuna ipotesi;

2) il lavoro delle forze interne dipenda dalla deformazione dell’elemento di volume, e quindi, a prescindere da infinitesimi d’ordine superiore, si esprima con una forza quadratica per mezzo delle 6 componenti di deformazione, cioè delle variazioni dei lati e degli angoli di un parallelepipedo.

Allora il principio dei lavori virtuali conduce (con Green) ad equazioni dell’elasticità più generali, ove figurano 21 coefficienti indipendenti al posto di 15. Nel caso dei solidi isotropi si hanno due coefficienti indipendenti il cui rapporto può avere un valore qualsiasi.

Ora la maggiore generalità di questa seconda teoria corrisponde veramente a casi possibili; infatti mentre i coefficienti di elasticità dei metalli si accordano in una certa misura colle previsioni della prima teoria, il caso di un solido quasi-incompressibile come la gelatina vi sfugge.

Resta dunque a chiarire in qual modo le ipotesi a) debbano essere modificate.