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| estensione della meccanica | 263 |
Il senso proprio della somma è il «riunire» o «mettere insieme» l’uno «accanto» all’altro, o «dopo» l’altro, gli enti presi come parti o addendi; importa cioè la diretta associazione, nello spazio o nel tempo, dei gruppi di sensazioni che corrispondono alle parti sommate.
Riferiamoci a qualche esempio.
§ 3. Esempii: i pesi.
Le distanze, i volumi, i pesi, costituiscono altrettante classi di quantità. Esse vengono pensate come tali dopo che si sono acquisite le nozioni di «distanze uguali», «volumi uguali», «pesi uguali», in relazione a quella di «somma».
Fermiamoci sull’esempio dei pesi.
Prendiamo una bilancia o una stadera, con un certo carico, e poniamo che il corpo A messo sul piatto faccia equilibrio al carico; sostituiamo ad A il corpo B, se l’equilibrio si mantiene diciamo che «i pesi di A e B sono uguali, rispetto alla data bilancia».
Il significato di questa definizione è un’associazione ed una astrazione; distribuiamo i corpi in classi, ponendo in una medesima classe quelli che sono sostituibili l’uno all’altro rispetto ad uno stesso carico della bilancia o stadera, costruiamo quindi il concetto astratto del «peso relativo alla bilancia», concetto rispetto a cui ogni elemento della classe può essere surrogato da ogni altro. Le proprietà formali dell’eguaglianza (cap. III, § 14) rispecchiano codesto processo psicologico di astrazione.
Facciamo ora una seconda astrazione. Confrontiamo bilance o stadere diverse; «se due pesi sono uguali rispetto ad una di esse, sono pure uguali rispetto ad un altra qualsiasi», si può dunque considerare l’uguaglianza dei pesi come una relazione fra i corpi paragonati, indipendente dal riferimento ad una particolare bilancia.
Procediamo a definire la «somma». Somma dei due pesi A, B è il peso del corpo che si ottiene riunendo A e B, o di qualunque altro corpo di ugual peso sostituibile a codesta riunione.
«Dati A e C esiste sempre un peso B che sommato ad uno di essi, dà un peso eguale all’altro».
Da ciò risulta che i pesi si possono considerare come quantità, somme di parti.
Non è però evidente a priori che «somme di pesi uguali sieno uguali». Se infatti A ed A′, equilibrano ugualmente la bilancia con un dato carico, e così pure B e B′, non ne segue che A′ sia sostituibile ad A nella bilancia equilibrata che porta sul suo piatto A + B.
Ma, data la varietà di costruzione possibile, si riconosce che codesta sostituibilità è implicita nella indipendenza del peso dalla bilancia.
