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Dentro questo limite, cioè per

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<a^{2}$,

il primo spazio è continuo e semplicemente connesso. Dalla (8) risulta poi che i punti appartenenti allo spazio limite sono tutti a distanza infinita.

Due elementi lineari $ds$, $\delta s$ uscenti da uno stesso punto $(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})$ e producenti rispettivamente le variazioni $dx_{1}$, $dx_{2}$, $\ldots$ $dx_{n}$, e $\delta x_{1}$, $\delta x_{2}$, $\ldots$ $\delta x_{n}$, sono fra loro ortogonali quando soddisfanno la relazione

$dx\delta x+dx_{1}\delta x_{1}+\cdots +dx_{n}\delta x_{n}=0$.

(10)

Consideriamo per esempio lo spazio di $n-1$ dimensioni $x_{1}=0$ e supponiamo che da un punto di esso escano due elementi lineari, l’uno $ds$ esistente nello spazio stesso, l’altro $\delta s$ diretto secondo la geodetica del sistema $x_{1}$ passante per questo punto. In tal caso si ha

$x_{1}=0$, $dx_{1}=0$, $\delta x_{2}=\delta x_{3}=\cdots =\delta x_{n}=0$, $\delta x=0$, .

epperò la condizione di ortogonalità è soddisfatta: vale a dire che ciascuna geodetica del sistema $x_{1}$ (o più in generale $x_{r}$) è ortogonale allo spazio $x_{1}=0$ (risp. $x_{r}=0$) nel punto in cui lo incontra. In particolare dunque all’origine delle coordinate le direzioni degli $n$ assi sono tutte ortogonali fra loro. Si dimostra con eguale facilità che l’asse $x$, è ortogonale a tutti gli spazii $x_{r}={\text{cost}}$. Le $n$ geodetiche condotte da un punto arbitrario dello spazio nei sistemi $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$ $x_{n}$, riescono perpendicolari agli spazii di $n-1$ dimensione $x_{1}=0$, $x_{2}=0$, $\ldots x_{n}=0$, analogamente a quel che ha luogo nel piano e nell’ordinario spazio quando si usano coordinate rettangole. Chiamando $X_{1}$, $X_{2}$, $\ldots$ $X_{n}$, le porzioni di queste geodetiche comprese fra il punto dato e gli spazii cui sono rispettivamente perpendicolari, si ha

$X_{r}={\frac {R}{2}}\log {\frac {{\sqrt {x^{2}+x_{r}^{2}}}+x_{r}}{{\sqrt {x_{2}+x_{r}^{2}}}-x_{r}}}$.

(11)

Consideriamo il completo sistema delle geodetiche uscenti dal punto determinato ($x_{1}^{0}$, $x_{2}^{0}$, $\ldots x_{n}^{0}$). Esso è rappresentato dal seguente sistema d’equazioni differenziali, l’ultima delle quali è una conseguenza delle prime,

${\frac {dx_{1}}{x_{1}-x_{1}^{0}}}={\frac {dx_{2}}{x_{2}-x_{2}^{0}}}=\cdots ={\frac {dx_{n}}{x_{n}-x_{n}^{0}}}={\frac {dx}{x-{\frac {z}{x}}}}$,