Pagina:Beltrami - Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante - 1868.pdf/12

8

Questa identità di forma dei due elementi rende manifesto che due reticoli in cui i vertici corrispondenti fossero legati dalle equazioni

$x_{1}=y_{1}$,

$x_{2}=y_{2}$,

$\ldots$

$x_{n}=y_{n}$

sarebbero perfettamente sovrapponibili. Ora è chiaro che il secondo di questi reticoli non sarebbe altro che il primo girato intorno all’origine insieme coi primitivi assi, fino a che questi prendessero le direzioni dei nuovi. È dunque provato che la sovrapponibilità di cui si parlava ha effettivamente luogo quando lo spostamento si riduce ad una semplice rotazione intorno all’origine. Anzi, siccome si potrebbe porre più generalmente

$x_{1}=\pm y_{1}$,

$x_{2}=\pm y_{2}$,

$\ldots$

$x_{n}=\pm y_{n}$

con libertà di combinare i segni in modo qualunque, così è chiaro che oltre l’eguaglianza per congruenza vi sono più specie d’eguaglianza per simmetria.

Poichè un cambiamento d’assi, restando fissa l’origine, non muta la forma dell’elemento lineare, resta ora a cercare l’effetto di un cambiamento d’origine. E poichè, preso nello spazio un punto qualunque, si può già supporre diretto verso di esso l’asse delle $x_{1}$, così è lecito prendere la nuova origine su questo stesso asse, nel punto $x_{1}=a_{1}$. La nuova transformazione da eseguire consiste dunque nel mantenere l’asse delle $x_{1}$ ed i precedenti sistemi coordinati delle $x_{2}$, $x_{3}$, $\ldots x_{n}$, e nel sostituire al sistema delle geodetiche perpendicolari allo spazio $x_{1}=0$ quello delle geodetiche perpendicolari allo spazio $x_{1}=a_{1}$, fra le quali si trova il primitivo asse delle $x_{1}$. Le nuove coordinate si chiameranno $y_{1}$, $y_{2}$, $\ldots y_{n}$ e si chiamerà $b$ una costante avente, rispetto a queste, lo stesso ufficio della costante a rispetto alle $x$. Così si denomineranno $Y_{1}$, $Y_{2}$, $\ldots Y_{n}$, le geodetiche analoghe alle $X_{1}$, $X_{2}$, $\ldots X_{n}$ e si avrà manifestamente, come nella (11),

$Y_{r}={\frac {R}{2}}\log {\frac {{\sqrt {y^{2}+y_{r}^{2}}}+y_{r}}{{\sqrt {y_{2}+y_{r}^{2}}}-y_{r}}}$.

Ciò posto, si osservi che, rimanendo invariati i primitivi sistemi delle $x_{2}$, $x_{3}$, $\ldots x_{n}$, si ha dapprima, per essi, $X_{r}=Y_{r}$ e quindi

${\frac {x_{r}}{x}}=\pm {\frac {y_{r}}{y}}$ per $r=2,3,\ldots n$.

(14)

Quadrando e sommando prima queste cquazioni, poi le loro differenziali, si