Pagina:Beltrami - Saggio di interpretazione della geometria non euclidea, 1868.djvu/27

)( 23 )(

zio consideralo. Ora il sig. Lamé ha dimostrato (Leçons sur les coordonnées curvilignes, p. 76, 78) che assumendo come coordinate curvilinee dei punti dello spazio i parametri $\rho$, $\rho _{1}$, $\rho _{2}$, di tre famiglie di superficie ortogonali, nel qual caso il quadrato della distanza di due punti infinitamente vicini è rappresentato da un’espressione della forma

$ds^{2}={\text{H}}^{2}d\rho ^{2}+{\text{H}}_{1}^{2}d\rho _{1}^{2}+{\text{H}}_{2}^{2}d\rho _{2}^{2}$,

le tre funzioni H, ${\text{H}}_{1}$, ${\text{H}}_{2}$ di $\rho$, $\rho _{1}$, $\rho _{2}$ che figurano in quest’espressione sono necessariamente soggette a soddisfare due distinte terne di equazioni a derivate parziali, che hanno a tipo le due seguenti:

${\frac {d^{2}{\text{H}}}{d\rho _{1}d\rho _{2}}}={\frac {1}{{\text{H}}_{1}}}{\frac {d{\text{H}}}{d\rho _{1}}}{\frac {d{\text{H}}_{1}}{d\rho _{2}}}+{\frac {1}{{\text{H}}_{2}}}{\frac {d{\text{H}}}{d\rho _{2}}}{\frac {d{\text{H}}_{2}}{d\rho _{1}}}$,

${\frac {d}{d\rho _{1}}}\left({\frac {1}{{\text{H}}_{1}}}{\frac {d{\text{H}}_{2}}{d\rho _{1}}}\right)+{\frac {d}{d\rho _{2}}}\left({\frac {1}{{\text{H}}_{2}}}{\frac {d{\text{H}}_{1}}{d\rho _{2}}}\right)+{\frac {1}{{\text{H}}^{2}}}{\frac {d{\text{H}}_{1}}{d\rho }}{\frac {d{\text{H}}_{2}}{d\rho }}=0$.

Nel nostro caso ${\text{H}}=1$, ${\text{H}}_{1}={\text{R senh}}{\frac {\rho }{\text{R}}}$, ${\text{H}}_{2}={\text{R senh}}{\frac {\rho }{\text{R}}}{\text{sen}}\rho _{1}$, e per questi valori le prime tre equazioni riescono identicamente soddisfatte, ma le seconde lo sono solamente nel caso di ${\text{R}}=\infty$. Dunque l’espressione (18) non può appartenere all’elemento lineare dell’ordinario spazio euclideo e le formole appoggiate ad essa non possono essere costruite cogli enti forniti dall’ordinaria geometria.

Per completare la dimostrazione dell’impossibilità di conseguire una costruzione della stereometria non euclidea, senza uscire dal campo della geometria ordinaria, bisognerebbe poter escludere la possibilità di attingerla altrove che in una estensione del metodo seguito per la planimetria. Noi non pretendiamo di provare che ciò non si possa assolutamente fare: diciamo solo che la cosa ci sembra molto improbabile.

Abbiamo detto di passaggio che l’espressione (18) serve di base ad una completa interpetrazione analitica della stereometria non-euclidea. Questa interpetrazione viene da noi indicata altrove¹. Qui facciamo solamente osservare che ponendo nella (18) $t={\text{cost.}}$ si ottiene l’espressione dell’elemento lineare di una superficie reale di curvatura costante negativa; talchè quella superficie sulla quale abbiamo veduto verificarsi i teoremi della planimetria non-euclidea, può considerarsi come esistente tanto nello spazio ordinario, quanto nello spazio non-euclideo.

1. In uno scritto che davo comparire sugli Annali di Matematica, dove i principii più generali della geometria non euclidea sono considerati indipendentemente dalle loro possibili relazioni cogli ordinarli enti geometrici.
   Col presente lavoro abbiamo avuto principalmente in animo di attirare qualche interesse sopra tali ricerche, offrendo lo sviluppo di un caso nel quale la geometria astratta trova riscontro nella concreta; ma non vogliamo ometterò di dichiarare che la validità del nuovo ordine di concetti non è punto subordinata alla possibilità o mono di un cosiffatto riscontro.