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che caratterizza essenzialmente il piano stesso. Se quindi ci mancasse la nozione delle superficie non applicabili sul piano, ci sarebbe impossibile attribuire un vero significato geometrico alla costruzione fin qui svolta. Ora l’analogia porta naturalmente a credere che, se può esistere una costruzione consimile per la stereometria non-euclidca, essa deve attingersi dalla considerazione di uno spazio il cui elemento lineare non sia riducibile alla forma

${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}$

che caratterizza essenzialmente lo spazio euclideo. E poichè finora la nozione di uno spazio diverso da questo sembra mancarci, od almeno sembra trascendere il dominio dell’ordinaria geometria, è ragionevole supporre che quand’anche le considerazioni analitiche alle quali si appoggiano le precedenti costruzioni sieno suscettive d’essere estese dal campo di due variabili a quello di tre, i risultati ottenuti in quest’ultimo caso non possano tuttavia essere costruiti coll’ordinaria geometria.

Questa congettura acquista un grado di probabilità molto vicino alla certezza quando s’imprende effettivamente ad estendere l’analisi precedente al caso di tre variabili. Infatti ponendo

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	$ds^{2}={\frac {{\text{R}}^{2}}{(a^{2}-t^{2}-u^{2}-v^{2})^{2}}}$
		↲
	$\{(a^{2}-u^{2}-v^{2})dt^{2}+(a^{2}-v^{2}-t^{2})du^{2}+(a^{2}-t^{2}-u^{2})dv^{2}$
		↲
	$+2uv\,du\,dv+2vt\,dv\,dt+2tu\,dt\,du\}$,

formola la cui composizione a priori colle tre variabili $t$, $u$, $v$ è suggerita dall’ispezione di quella della (1) colle due variabili $u$, $v$, si verifica agevolmente che le deduzioni analitiche cui dava luogo l’espressione (1) sussistono integralmente per la nuova, e che il valore di $ds$ dato da essa è effettivamente quello dell’elemento lineare di uno spazio in cui la stereometria non-euclidca trova un’interpetrazione altrettanto completa, analiticamente parlando, quanto quella data per la planimetria.

Ma se alle variabili $t$, $u$, $v$ se ne sostituiscono tre nuove $\rho$, $\rho _{1}$, $\rho _{2}$, ponendo

$t=r\cos \rho _{1}$,

$u=r\operatorname {sen} \rho _{1}\cos \rho _{2}$,

$u=r\operatorname {sen} \rho _{1}{\text{sen}}\rho _{2}$,

${\frac {{\text{R}}adr}{a^{2}-r^{2}}}=d\rho$

si trova

$ds^{2}=d\rho ^{2}+\left({\text{Rsenh}}{\frac {\rho }{\text{R}}}\right)^{2}(d\rho _{1}^{2}+\operatorname {sen} ^{2}\rho _{1}d\rho _{2}^{2})$,

formola la quale mostra essere $\rho$, $\rho _{1}$, $\rho _{2}$ coordinate curvilinee ortogonali dello spa-