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Per avere una riprova della corrispondenza dei nostri oricicli con quelli di Lobatschewsky, osserviamo che all’angolo diedro ${\frac {\sigma }{\text{R}}}$ di due piani meridiani corrispondono sui paralleli $\rho _{1}$, e $\rho _{2}$, i due archi $s_{1}$, $s_{2}$ dati da

$s_{1}=\sigma e^{-{\frac {\rho _{1}}{\text{R}}}}$,

$s_{2}=\sigma e^{-{\frac {\rho _{2}}{\text{R}}}}$,

donde, chiamando $\tau$ la distanza $\rho _{2}-\rho _{1}$, si trae

$s_{2}=s_{1}e^{-{\frac {\tau }{\text{R}}}}$,

formola che coincide con quella di Lobatschewsky (n°33), salva la solita differenza nella scelta dell’unità.

L’espressione (15) dell’elemento lineare è indipendente dalle coordinate $(u_{0}$, $v_{0})$ del centro degli oricicli considerati; inoltre abbiamo veduto che ciascuno degli oricicli di un dato sistema può prendere il posto del parallelo massimo. Possiamo dunque concludere che due oricicli qualisivogliano della superficie possono sempre essere sovrapposti l’uno sull’altro.

Per due punti della superficie pseudosferica passano sempre due oricicli, che sono determinati conducendo pel punto medio della loro congiungente geodetica una geodetica perpendicolare, i cui due punti all’infinito sono i centri degli oricicli cercati. Gli archi di questi oricicli, compresi fra i punti dati, hanno una stessa grandezza, che dipende unicamente dalla distanza geodetica dei due punti. Chiamando $\rho$ questa distanza e $\sigma$ la lunghezza di quegli archi si trova agevolmente col mezzo delle equazioni (15) (16) (dove $\rho$ ha però un significato diverso)

$\sigma =2{\text{Rsenh}}{\frac {\rho }{2{\text{R}}}}$,

formola che presenta una singolare analogia con quella notissima che dà la corda in funzione dell’arco sotteso nel cerchio di raggio R. (Veggasi Battaglini, l. c., p. 229, ed anche una nostra Nota negli Annali di Matematica, t. VI, 1865, p. 271).

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Da quanto precede ci sembra confermata in ogni parte l’annunciata interpetrazione della planimetria non-euclidea per mezzo delle superficie di curvatura costante negativa.

La natura stessa di questa interpetrazione lascia facilmente prevedere che non ne può esistere una analoga, egualmente reale, per la stereometria non euclidea. Infatti per conseguire l’interpetrazione testè esposta si è dovuto sostituire al piano una superficie che è con esso irriducibile, cioè il cui elemento lineare non può in alcun modo essere ridotto alla forma

${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}$