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assurdo, poichè la variazione anzidetta eguaglia la proiezione di $d\rho$ sul piano del parallelo.

L'espressione (12) dell'elemento lineare, benchè priva dei vantaggi inerenti all'uso dello nostre variabili $u$, $v$, può essere utile talvolta per la sua semplicità. Essa si presta p. es. alla determinazione della curvatura tangenziale delle circonferenze geodetiche, la quale', per la circonferenza di raggio $\rho$, ha il valore ${\frac {1}{{\text{Rtgh}}{\frac {\rho }{\text{R}}}}}$; questa curvatura è adunque costante lungo tutta la periferia del cerchio geodetico e non dipende che dal raggio. Questa proprietà riesce manifesta anche a priori, osservando che il pezzo di superficie terminato da un cerchio geodetico si può applicare in modo qualunque sulla superficie medesima, senza che il suo lembo cessi mai di essere un cerchio geodetico col centro nel punto su cui si applica il suo centro primitivo.

Il teorema che — le geodetiche erette normalmente nei punti medii delle corde di una circonferenza geodetica concorrono tutte nel suo centro — si dimostra come il corrispondente teorema della planimetria ordinaria, e se ne conclude che la costruzione del centro della circonferenza passante per i tre punti non situati sopra una stessa geodetica è affatto analoga all'ordinaria, talchè tale circonferenza è sempre unica e determinata.

Ma qui sorge una difficoltà. Scelti ad arbitrio tre punti della superficie, può accadere che le geodetiche perpendicolari nei punii medii delle loro congiungenti non si intersechino in alcun punto reale della superficie, e quindi, se si restringe la denominazione di circonferenze geodetiche alle curve descritte dall’estremità di un arco geodetico invariabile che gira intorno ad un punto reale della superficie, bisogna necessariamente ammettere che non sempre si può far passare una circonferenza geodetica per tre punti della superficie scelti in modo qualunque. Anche questo, mutatis mutandis, è d'accordo coi principii di Lobatschewsky (Théorie géométrique, n° 29).

Nondimeno, poichè le geodetiche della superficie sono sempre rappresentate dalle corde del cerchio-limite, se più corde sono tali che prolungate si incontrino in uno stesso punto esterno al cerchio, è lecito riguardare le geodetiche corrispondenti come aventi in comune un punto ideale, e le loro traiettorie ortogonali come alcunchè di analogo alle circonferenze geodetiche propriamente dette.

Cerchiamo direttamente l'equazione di queste traiettorie.

L'equazione

$v-v_{0}=k(u-u_{0})$

rappresenta il sistema delle geodetiche uscenti dal punto $(u_{0},v_{0})$ reale od ideale secondo che $(u_{0}^{2}+v_{0}^{2})$ è minore o maggiore di $a^{2}$. L'equazione differenziale dello stesso sistema è

${\frac {du}{u-u_{0}}}={\frac {dr}{v-v_{0}}}$,