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si ha l’incremento che riceve l’area del triangolo considerato, quando si sposta il cateto opposto all’angolo $\mu$. Integrando di nuovo fra $\mu '=90^{\circ }-\mu$ e $\mu '=\mu '$ (dei quali valori il primo evidentemente corrisponde ad $u=0$) si ottiene

$R^{2}({{\frac {\pi }{2}}-\mu -\mu ')}$,

espressione dell’area totale del triangolo rettangolo. Da questa si passa tosto a quella di un triangolo geodetico qualunque ${\text{A}}$${\text{B}}$${\text{C}}$, dividendolo in due triangoli rettangoli con una geodetica condotta da un vertice normalmente al lato opposto, e si trova

$R^{2}(\pi -{\text{A}}-{\text{B}}-{\text{C}})$.

Questa espressione, dovendo riuscire positiva, manifesta che la somma dei tre angoli di un triangolo geodetico qualunque non può mai eccedere $180^{\circ }$. Se essa fosse eguale a $180^{\circ }$ in un solo triangolo, di dimensioni finite, bisognerebbe che fosse ${\text{R}}=\infty$, ed allora in ogni altro triangolo finito si avrebbe parimente ${\text{A}}+{\text{B}}+{\text{C}}=\pi$. Ma per ${\text{R}}=\infty$ la (9) dà $\Delta ={\frac {\pi }{2}}$, quindi l’angolo di parallelismo sarebbe necessariamente retto; e reciprocamente. Questo sono pure le conclusioni cui giunge la geometria non-euclidea.

Il triangolo formato da una geodetica e dalle due geodetiche ad essa parallele condotte per un punto esterno, ha due angoli nulli ed il terzo eguale a $2\Delta$; quindi la sua area è finita e data da

${\text{R}}^{2}(\pi -2\Delta )$

ossia, per la (9), da

$2{\text{R}}^{2}{\text{Arctg}}({\text{senh}}{\frac {\delta }{\text{R}}})$,

dove $\delta$ è la distanza dal punto alla geodetica. Per ${\text{R}}$ molto grande questa quantità è prossimamente eguale a $2\delta {\text{R}}$, ed è quindi infinita per il piano, come è noto, ma non lo è che in questo caso.

Un triangolo geodetico i cui vertici sono tutti all’infinito ha un’area finita e determinata, il cui valore $=\delta {\text{R}}^{2}$ è indipendente dalla sua forma.

Un poligono geodetico di $n$ lati, cogli angoli interni ${\text{A}}$, ${\text{B}}$, ${\text{C}}$,... ha l’area

${\text{R}}^{2}\left\{(n-2)\pi -{\text{A}}-{\text{B}}-{\text{C}}-...\right\}$.

Se il poligono ha tutti i vertici all’infinito, la sua area, che non cessa d’essere finita, si riduce a $(n-2)\pi {\text{R}}^{2}$ ed è quindi indipendente dalla sua forma.

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Passiamo ora ad esaminare quelle curve che abbiamo chiamate, secondo un uso già ricevuto, circonferenze geodetiche.

Alla fine della Nota II abbiamo trovato che la circonferenza geodetica col cen-