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al quale corrisponde sulla superficie una delle parallele considerate; e poichè gli angoli intorno all’origine sono eguali sulla superficie e sul piano ausiliare, si deve evidentemente avere

(9)	${\text{tg}}\Delta .{\text{senh}}{\frac {\delta }{R}}=1$,

formola che contiene la relazione cercata fra la distanza normale $\delta$ e l’angolo di parallelismo $\Delta$. Essa coincide con quella trovala dal sig. Battaglini (t. V di questo Giornale, p. 225). Per confrontarla con quella di Lobatschewsky basta scriverla sotto la forma

$e^{-{\frac {2\delta }{R}}}+2e^{-{\frac {\delta }{R}}}{\text{cotg}}\Delta -1=0$

e dedurne

$e^{-{\frac {\delta }{R}}}={\frac {-{\text{cos}}\Delta \pm 1}{{\text{sen}}\Delta }}$.

Il segno inferiore è inammissibile perchè ${\frac {\delta }{R}}$ è quantità reale, quindi

${\text{tg}}{\frac {1}{2}}\Delta =e^{-{\frac {\delta }{R}}}$,

la quale è appunto la formola di Lobatschewsky (Théorie géométrique, n° 38, salva la differenza dei simboli e quella che proviene dalla scelta dell’unità.

Indicando, come fa Lobatschewsky (n° 16), con $\Pi (z)$ l’angolo di parallelismo relativo alla distanza normale $z$, si ha dalla (9)

(10)

${\text{cosh}}{\frac {z}{R}}={\frac {1}{{\text{sen}}\Pi (z)}}$,

${\text{senh}}{\frac {z}{R}}={\text{cotg}}\Pi (z)$.

Ora, per una osservazione del sig. Minding (nel t. XX del Giornale di Crelle), sviluppata dal sig. Codazzi (negli Annali di Tortolini, 1857), è noto che le ordinarie formole relative ai triangoli sferici si convertono in quelle relative ai triangoli geodetici delle superficie di curvatura costante negativa, apponendo il fattore ${\sqrt {-}}1$ ai rapporti dei lati col raggio e lasciando inalterati gli angoli, ciò che equivale a mutare le funzioni circolari dei lati in funzioni iperboliche. Per es. la prima formola della trigonometria sferica

${\text{cos}}{\frac {a}{R}}={\text{cos}}{\frac {b}{R}}{\text{cos}}{\frac {c}{R}}+{\text{sen}}{\frac {b}{R}}{\text{sen}}{\frac {c}{R}}{\text{cosA}}$

diventa

${\text{cosh}}{\frac {a}{R}}={\text{cosh}}{\frac {b}{R}}{\text{cosh}}{\frac {c}{R}}-{\text{senh}}{\frac {b}{R}}{\text{senh}}{\frac {c}{R}}{\text{cosA}}$.