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Introducendo invece dei lati $a$, $b$, $c$ i corrispondenti angoli di parallelismo mediante le formole (10), questa relazione si converte nella seguente:

$\cos {\text{A}}.\cos {\Pi (b)}.\cos {\Pi (c)}+{\frac {\operatorname {sen} {\Pi (b)}.\operatorname {sen} {\Pi (c)}}{\operatorname {sen} {(a)}}}=1$,

e questa è una delle equazioni fondamentali della planimetria non-euclidea (Théorie géométrique, n° 37). Analogamente si possono ottenere le altre. (Il passaggio inverso da queste equazioni a quelle della trigonometria sferica è stato indicato da Lobatschewsky, alla p. 34, ma come un semplice fatto analitico).

I risultati precedenti ci sembrano manifestare pienamente la corrispondenza vigente fra la planimetria non-euclidea e la geometria pseudosferica. Per verificare la stessa cosa da un altro punto di vista, vogliamo ancora stabilire direttamente, colla nostra analisi, il teorema relativo alla somma dei tre angoli di un triangolo.

Consideriamo il triangolo rettangolo formato dalla geodetica fondamentale $v=0$, da una delle geodetiche perpendicolari $u={\text{cost}}$, e dalla geodetica uscente dall’origine sotto l’angolo $\mu$, la cui equazione è

$v=u{\text{tg}}\mu$.

Chiamiamo $\mu '$ il terzo angolo di questo triangolo. L’angolo corrispondente ad esso nel piano ausiliare è $90^{\circ }-\mu$, epperò la relazione stabilita precedentemente fra gli angoli corrispondenti nella superficie e nel piano dà

${\text{tg}}\mu '={\frac {w\cos {\mu }}{a\operatorname {sen} {\mu }}}$,

donde si scorge che quando $\mu$ è un angolo acuto, lo è pure $\mu '$. Essendo $v=u{\text{tg}}\mu$, questa formola può scriversi, prendendo il radicale positivamente,

${\text{tg}}\mu '={\frac {\sqrt {a^{2}\cos ^{2}{\mu }-u^{2}}}{a\operatorname {sen} {\mu }}}$

donde

${\text{d}}\mu '={\frac {a\operatorname {sen} {\mu }.udu}{(a^{2}-u^{2}){\sqrt {a^{2}\cos ^{2}{\mu }-u^{2}}}}}$,

{{Noindent|espressione dell’incremento che riceve $\mu '$ quando, rimanendo costante $\mu$, si sposta il cateto opposto a quest’angolo. Ciò posto se dell’elemento superficiale

$dudv{\sqrt {{\text{EG}}-{\text{F}}^{2}}}={\text{R}}^{2}a{\frac {dudv}{(a^{2}-u^{2}-v^{2})^{\frac {3}{2}}}}$

si prende l’integrale rispetto a $v$, fra $v=0$ e $v=u{\text{tg}}\mu$, che si trova essere

${\frac {{\text{R}}^{2}a\operatorname {sen} {\mu }.udu}{(a^{2}-u^{2}){\sqrt {a^{2}\cos ^{2}{\mu }-u^{2}}}}}$

ossia

$-{\text{R}}^{2}d\mu '$,