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bono essere scelte in qualche modo particolare perchè l’elemento abbia la forma anzidetta? Veramente sembrerebbe che esse potessero essere scelte ad arbitrio, poichè se ogni pezzo di superficie è sovrapponibile in modo qualunque alla superficie stessa, chiaro è che due qualisivogliano geodetiche ortogonali esistenti in quel pezzo si possono far coincidere con due altre qualsivogliano, purchè ortogonali del pari. Siccome però la quistione che abbiamo sollevata è essenziale per lo scopo nostro, così abbiamo creduto di dedicare ad essa la Nota II, nella quale, dimostrandosi direttamente che le geodetiche fondamentali sono arbitrarie, risulta al tempo stesso provato, senza bisogno di ammettere preliminari conoscenze in proposito, che ogni pezzo di superficie è applicabile in modo qualunque sulla superficie stessa.
In conseguenza di questo fatto e delle ragioni già esposte, i teoremi della planimetria non-euciidea relativi alle figure rettilinee piane, diventano necessariamente validi per le analoghe figure geodetiche esistenti sullo superficie pseudosferiche. Tali sono per esempio quelli dei ni 310, 1624, 2930, ecc. della Théorie géométrique di Lobatschewsky.
Prendiamo ora a considerare le due geodetiche spiccate da un punto dato, parallelamente ad una geodetica data. Sia la lunghezza della normale geodetica condotta dal punto questa geodetica. Questa normale divide per metà l’angolo delle due parallele. Infatti staccando la striscia di superficie compresa fra la geodetica normale, una delle parallele e la corrispondente metà della geodetica data, invertendola, ed applicandola di nuovo sulla superficie, in modo ohe la normale coincida con sè stessa, mentre la metà della geodetica data si sovrapponga sull’altra metà, è chiaro che la parallela limitante la striscia si deve sovrapporre all’altra parallela, senza di chè dal punto dato si potrebbero condurre più di due parallele alla geodetica data. Chiamiamo angolo di parallelismo l’angolo formato da ciascuna delle parallele colla normale e denotiamolo con . Per calcolare questo angolo, facciamo uso della nostra solita analisi, ponendo l’origine () nel punto dato e dirigendo la geodetica fondamentale normalmente alla geodetica data; talchè quest’uitima risulta rappresentata dall’equazione
come facilmente si rileva dalla formola (8).
A questa geodetica corrisponde nel piano ausiliare una corda perpendicolare all’asse delle , bisecata da questo asse, uno dei cui termini ha per ordinata la quantità . Questo punto del cerchio limite determina i1 raggio d’equazione
,
