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dove $w$ indica il valore positivo del radicale ${\sqrt {a^{2}-u^{2}-v^{2}}}$. In virtù del precedente valore di $r$ la (7) può scriversi

$\sigma =\mu R\;{\text{senh}}{\frac {\rho }{R}}$,

cosicchè il semiperimetro della circonferenza geodetica di raggio $\rho$ è dato da

(8)

$\pi R\;{\text{senh}}{\frac {\rho }{R}}$

ossia

${\frac {1}{2}}\pi R{\begin{pmatrix}e^{\frac {\rho }{R}}-e^{-{\frac {\rho }{R}}}\end{pmatrix}}$.

Dalle cose precedenti risulta che le geodetiche della superficie sono rappresentate, nel loro totale sviluppo (reale), dalle corde del cerchio limite, mentre i prolungamenti di queste corde fuori del cerchio stesso sono destituiti d’ogni rappresentanza (reale). D’altronde due punti reali della superficie sono rappresentati da due punti, parimente reali, interni al cerchio limite, i quali individuano una conda del cerchio stesso. Si vede dunque che due punti reali della superficie, scelti in modo qualunque, individuano sempre una sola e determinata linea geodetica, che è rappresentata nel piano ausiliare dalla corda passante pei loro punti corrispondenti.

Così le superficie di curvatura costante negativa non vanno soggette a quelle eccezioni che si verificano sotto questo rapporto in quelle di curvatura costante positiva, epperò sono ad esse applicabili i teoremi della planimetria non-euclidea. Anzi questi teoremi non sono in gran parte suscettibili di concreta interpetrazione, se non vengono riferiti precisamente a queste superficie anzichè al piano, come ora procediamo a diffusamente dimostrare. Per evitare circonlocuzioni ci permettiamo di denominare pseudosferiche le superficie di curvatura costante negativa, e di conservare il nome di raggio alla costante $R$ da cui dipende il valore della loro curvatura.

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Cerchiamo primieramente la relazione generale che sussiste fra l’angolo di due linee geodetiche e l’angolo delle corde che le rappresentano.

Sia ($u,v$) un punto della superficie, ($U,V$) un punto qualunque di una delle geodetiche uscenti da esso. Le equazioni di due fra queste geodetiche siano

$V-v=m(U-u),$

$V-v=n(U-u)$.

Chiamando $\alpha$ l'angolo delle geodetiche nel punto ($u,v$) si ha da una formula nota

${\text{tg}}\alpha ={\frac {(n-m){\sqrt {EG-F^{2}}}}{E+(n+m)F+mnG}}$,