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condizioni che abbiamo formulato. Per es. il triangolo rettilineo rappresentante il triangolo geodetico sul piano ausiliare avrebbe i suoi angoli finiti, mentre quelli del triangolo geodetico sarebbero nulli. E un triangolo curvilineo coi lati tra loro tangenti nei vertici violerebbe del pari le condizioni anzidette in ciò che, prendendo due punti $b$, $c$ sui lati che concorrono in un vertice $a$, si otterrebbero degli intervalli $ab$, $bc$ il cui rapporto sarebbe finito nel triangolo indicativo, infinito nel geodetico (fig. 1^a). Per togliere questa discordanza bisognerebbe che tutti gli intervalli analoghi a $bc$ fossero nulli nella figura indicativa, il chè non potrebbe ottenersi altrimenti che dando ad essa la disposizione (fig. 2^a), dove il punto $o$ concentra in sè stesso la rappresentanza di tutti i punti posti a distanza finita nel triangolo geodetico. Una tale figura potrebbe concepirsi come risultante dall’osservare il triangolo geodetico con una lente dotata della proprietà (fittizia) di produrre un impiccolimento infinito. Infatti in tale ipotesi tutti gli intervalli finiti apparirebbero come nulli e gli infiniti come finiti.

Ciò concorda sostanzialmente con quello che ha notato Gauss nella sua lettera del 12 luglio 1831 a Schumacher (Veggasi l’Appendice alla traduzione data dal signor Hoüel della Teoria delle parallele di Lobatschewsky); nella quale è pur detto che il semiperimetro del cerchio non-euclideo di raggio $\rho$ ha per valore

${\frac {1}{2}}\pi k\left(e^{\frac {\rho }{k}}-e^{-{\frac {\rho }{k}}}\right)$

dove $k$ è una costante. Questa costante, che Gauss dice esserci offerta dall’esperienza come estremamente grande rapporto a tulio ciò che noi possiamo misurare, non è altro, secondo l’attual punto di vista ed in base alla formola (8), che il raggio di quella superficie pseudosferica che noi introduciamo inconsapevolmente nella planimetria, al posto del piano euclideo, ogni volta che le nostre considerazioni si appoggiano a quelle sole premesse che sono vere tanto per il piano quante per tutte le superficie della detta classe.

Volendo ora procedere a mostrare in modo più concreto l’accordo della geometria pseudosferica colla planimetria non euclidea, si rende necessario di esaminare attentamente l’espressione analitica che abbiamo usata per rappresentare l’elemento lineare della superficie pseudosferica. E innanzi tutto si affaccia la seguente quistione: Le due geodetiche che abbiamo chiamate fondamentali deb-