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retta che rappresenta (nel piano ausiliare) la geodetica considerata. Per tali valori si ricava dalla (1), essendo $\mu$ costante,

$d\rho =R{\frac {a\;dr}{a^{2}-r^{2}}}$

donde

$\rho ={\frac {R}{2}}\;\;\log \;\;{\frac {a+r}{a-r}},$

dove $\rho$ è l’arco della geodetica, contato dal punto $(u=v=0)$. Si può scrivere anche

(6)	$\rho ={\frac {R}{2}}\log {\frac {a+{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}{a-{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}$,

$u,v$ essendo le coordinate del secondo termine dell'arco $\rho$: il radicale ${\sqrt {u^{2}+v^{2}}}$ deve prendersi qui positivamente, affine di ottenere il valore assoluto della distanza $\rho$.

Questo valore è nullo per $r=0$, va crescendo indefinitamente col crescere di $r$ ossia di ${\sqrt {u^{2}+v^{2}}}$ da $0$ ad $a$, diventa infinito per $r=a$ ossia per quei valori di $u,r$ che soddisfanno alla (4), ed è imaginario quando $r>a$. È chiaro dunque che il contorno espresso dall’equazione (4) e rappresentato nel piano ausiliare dal cerchio limite non è altro che il luogo dei punti all’infinito della superficie, luogo che può considerarsi come un cerchio geodetico descritto col centro nel punto $(u=v=0)$ e con un raggio (geodetico) infinitamente grande. Al di là di questo cerchio geodetico di raggio infinito non esistono che le regioni imaginarie od ideali della superficie, talchè la regione dianzi considerata si estende indefinitamente e continuamente in ogni senso ed abbraccia la totalità dei punti reali della superficie. In tal guisa dentro il cerchio limite viene a rappresentarsi tutta la regione reale della nostra superficie, e propriamente in modo che, mentre lo stesso cerchio limite corrisponde alla linea dei suoi punti all’infinito, i cerchi concentrici ed interni ad esso corrispondono ai cerchi geodetici della superficie col centro nel punto $(u=v=0)$.

Se nelle equazioni (5) si riguarda $r$ come costante, $\mu$ come variabile, quelle equazioni convengono ad un cerchio geodetico, e la formola (1) dà

(7)	$\sigma ={\frac {Rr\mu }{\sqrt {a^{2}-r^{2}}}}$,

dove $\sigma$ è l’arco di cerchio geodetico rappresentato nel piano ausiliare dall’arco circolare il cui raggio è $r$ e l’angolo al centro $\mu$. Essendo $\sigma$ poporzionale a $\mu$ qualunque sia $r$, si vede facilmente che lo geodetiche $\rho$ fanno tra loro, nell'origine comune, angoli eguali ai raggi che loro corrispondono nel piano ausiliare; e che la piccolissima porzione di superficie immediatamente circostante al punto $(u=v=0)$ è simile alla sua rappresentazione piana, proprietà che non si verifica per alcun altro punto.

Dalla (6) si trae

(7')

$r={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}={\text{atgh}}{\frac {\rho }{R}}$,

e

$\cosh {\frac {\rho }{R}}={\frac {a}{w}}$,