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tiche ortogonali fra loro , , che diremo fondamentali, e ciascun punto della superficie viene individuato come intersezione di due geodetiche condotte per esso perpendicolarmente alle due fondamentali; ciò che costituisce una evidente generalizzazione dell'ordinario metodo cartesiano.

Le formole (2) fanno vedere che i valori ammissibili per le variabili , sono limitati dalla relazione

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Entro questi limiti le funzioni , , sono reali, monodrome, continue e finite, e le , , sono inoltre positive e differenti da zero. Dunque, per quel che abbiamo stabilito al principio della Memoria Delle variabili complesse in una superficie qualunque (Annali di Matematica, IIa Serie, t. I), la porzione di superficie terminata al contorno d’equazione

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è semplicemente connessa, ed il reticolo formato su di essa dalle geodetiche coordinate presenta intorno a ciascun punto il carattere di quello formato da due sistemi di rette parallele su di un piano, cioè: due geodetiche di egual sistema non hanno mai alcun punto comune, e due geodetiche di sistema diverso non sono mai fra loro tangenti. Ne consegue che, sulla regione considerata, a ciascuna coppia di valori reali delle soddisfacenti alla condizione (3) corrisponde un punto reale, unico e determinato; e, reciprocamente, a ciascun punto corrisponde una sola e determinala coppia di valori reali delle soddisfacenti alla condizione anzidetta.

Quindi se indichiamo con le coordinate rettangolari dei punti di un piano ausiliare, le equazioni


stabiliscono una rappresentazione della regione considerata, rappresentazione nella quale a ciascun punto di quella regione corrisponde un punto unico e determinato del piano, e reciprocamente; e tutta la regione trovasi rappresentata dentro un cerchio di raggio col centro nell'origine delle coordinate, che chiamiamo cerchio limite. In questa rappresentazione le geodetiche della superficie sono rappresentate dalle corde del cerchio limite, ed in particolare le geodetiche coordinate sono rappresentate dalle corde parallele ai due assi coordinati.

Vediamo ora come sia limitata, sopra la superficie, la regione alla quale si applicano le precedenti considerazioni.

Una linea geodetica uscente dal punto può essere rappresentata colle equazioni

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dove e sono le coordinate polari del punto corrispondente al punto sulla