Pagina:Beltrami - Ricerche di geometria analitica - 1879.pdf/37

259

29

funzioni u per mezzo delle rimanenti $m+1$. Se, per fissare le idee, si vogliono esprimere le funzioni

$u_{m+1}$,

$u_{m+2},\ldots u_{n}$

per mezzo delle

$u_{0}$,

$u_{1},\ldots u_{m}$,

basta porre

$\chi (\lambda )=(\lambda -a_{m+1})(\lambda -a_{m+2})\ldots (\lambda -a_{n})$,

e fare successivamente nell’equazione (3)

$\psi (\lambda )={\frac {\chi (\lambda )}{\lambda -a_{m+1}}},\;={\frac {\chi (\lambda )}{\lambda -a_{m+2}}},\ldots ,={\frac {\chi (\lambda )}{\lambda -a_{n}}}.$

Si ottengono in tal modo le $n-m$ formole che risultano dalla seguente

(4)	$\sum _{k=0}^{k=m}{\frac {A_{k}\chi (a_{k})u_{k}}{(a_{k}-a_{p})\phi (a_{k})}}+{\frac {A_{p}\chi '(a_{p})u_{p}}{\phi (a_{p})}}=0$

facendo successivamente $p=m+1,m+2,\ldots n$; e queste permettono appunto di esprimere $u_{p}(p>m)$ per mezzo di $u_{0}$, $u_{1},\ldots u_{m}$.

Dall’equazione (4) si trae

$A_{p}u_{p}={\frac {\phi (a_{p})}{\chi '(a_{p})}}\sum _{0}^{m}{\frac {A_{k}\chi (a_{k})u_{k}}{(a_{p}-a_{k})\phi (a_{k})}}$,

donde, moltiplicando ambidue i membri per

${\frac {1}{\lambda -a_{p}}}$

e summando da $p=m+1$ fino a $p=n$,

$\sum _{m+1}^{n}{\frac {A_{p}u_{p}}{\lambda -a_{p}}}=\sum _{0}^{m}{\frac {A_{k}\chi (a_{k})u_{k}}{\phi (a_{k})}}\sum _{m+1}^{n}{\frac {\phi (a_{p})}{(\lambda -a_{p})(a_{p}-a_{k})\chi '(a_{p})}}$,