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Da queste formole, in virtù del Lemma (III), si traggono le equazioni seguenti:

	${\frac {A}{(x'-a)^{2}}}+{\frac {B}{(x'-b)^{2}}}+{\frac {C}{(x'-c)^{2}}}=0$,
	${\frac {A}{(x'-a)(x_{1}-a)}}+{\frac {B}{(x'-b)(x_{1}-b)}}+{\frac {C}{(x'-c)(x_{1}-c)}}=0$,
	${\frac {A}{(x'-a)^{2}(x_{1}-a)}}+{\frac {B}{(x'-b)^{2}(x_{1}-b)}}+{\frac {C}{(x'-c)^{2}(x_{1}-c)}}=0,$

la prima delle quali non è altro che la derivata della (4) rispetto a x postovi $x=x'$, e fornisce quattro valori di $x'$ che son quelli delle radici doppie possibili, corrispondenti ad altrettanti valori di k che si ottengono sostituendo i primi nell’equazione (4) al posto di x. La terza equazione, che è lineare rispetto a $x_{1}$, (in virtù della prima), fornisce il valore della radice semplice associata a ciascuna radice doppia. La seconda e terza equazione poi, insieme prese, esprimono il carattere peculiare dei triangoli corrispondenti alle quattro terne comprendenti una radice doppia. Se si pone infatti

	$\lambda _{1}=x_{1}$,	$\lambda _{2}=\lambda _{3}=\lambda '=x'$,
	$\mu _{1}=x_{1}$,	$\mu _{2}=\mu _{3}=\mu '=x'$,

le dette due equazioni si possono scrivere così:

${\frac {A}{(\lambda _{1}-a)(\mu '-a)}}+{\frac {B}{(\lambda _{1}-b)(\mu '-b)}}+{\frac {C}{(\lambda _{1}-c)(\mu '-c)}}=0$,

${\frac {\partial }{\partial \mu '}}\left\{{\frac {A}{(\lambda _{1}-a)(\mu '-a)}}+{\frac {B}{(\lambda _{1}-b)(\mu '-b)}}+{\frac {C}{(\lambda _{1}-c)(\mu '-c)}}\right\}=0$;

oppure così:

${\frac {A}{(\lambda '-a)(\mu _{1}-a)}}+{\frac {B}{(\lambda '-b)(\mu _{1}-b)}}+{\frac {C}{(\lambda '-c)(\mu _{1}-c)}}=0$

${\frac {\partial }{\partial \lambda '}}\left\{{\frac {A}{(\lambda '-a)(\mu _{1}-a)}}+{\frac {B}{(\lambda '-b)(\mu _{1}-b)}}+{\frac {C}{(\lambda '-c)(\mu _{1}-c)}}\right\}=0$.

Sotto la prima forma le due equazioni esprimono che il lato $\lambda _{1}$, contiene il punto $\mu '$ ed il punto contiguo; sotto la seconda, che il punto $\mu$,