Opere matematiche di Luigi Cremona/Seconde solution de la question 369

Questo testo è stato riletto e controllato.

Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Seconde solution de la question 369

Informazioni sulla fonte del testo

◄

Seconde solution de la question 368

Rivista bibliografica

►

[p. 33 modifica]

7.

SECONDE SOLUTION DE LA QUESTION 369.^[1]

Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.^er série, tome XVI (1857), pp. 251-252.

Soient

$p=0$ , $q=0$ , $r=0$

les équations des côtés $\mathrm {BC}$ , $\mathrm {CA}$ , $\mathrm {AB}$ d’un triangle $\mathrm {ABC}$ ;

$q-r=0$ , $r-p=0$ , $p-q=0$

sont donc les équations de trois droites passant respectivement par les sommets $\mathrm {A}$ , $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ et se rencontrant au même point $\mathrm {D}$ ; soient $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ les points où $\mathrm {AD}$ , $\mathrm {BD}$ , $\mathrm {CD}$ rencontrent $\mathrm {BC}$ , $\mathrm {CA}$ , $\mathrm {AB}$ . Soient

${\begin{aligned}lp+mq+nr&=0,\\l_{1}p+m_{1}q+n_{1}r&=0\end{aligned}}$

les équations de deux droites $\mathrm {R}$ , $\mathrm {R} _{1}$ qui rencontrent respectivement $\mathrm {BC}$ , $\mathrm {CA}$ , $\mathrm {AB}$ aux points $a$ , $a_{1}$ ; $b$ , $b_{1}$ ; $c$ , $c_{1}$ ; par conséquent, les équations des droites $\mathrm {D} a$ , $\mathrm {D} a_{1}$ , son

${\begin{aligned}n(r-p)-m(p-q)&=0,\\n_{1}(r-p)-m_{1}(p-q)&=0.\end{aligned}}$

Le rapport anharmonique des quatre droites $\mathrm {DB}$ , $\mathrm {DC}$ , $\mathrm {D} \alpha$ , $\mathrm {D} a_{1}$

{\begin{aligned}r-p&=0,\\p-q&=0,\\r-p-(p-q)&=0,\\r-p-{\frac {m}{n}}(p-q)&=0\end{aligned}}

[p. 34 modifica]

est ${\frac {n}{m}}$ (Salmon, Conic sections, p. 53) et le rapport anharmonique des droites conjuguées $\mathrm {DC}$ , $\mathrm {DB}$ , $\mathrm {D} \alpha$ , $\mathrm {D} a_{1}$ ,

{\begin{aligned}p-q&=0,\\r-p&=0,\\p-q-(r-p)&=0,\\p-q-{\frac {n_{1}}{m}}(r-p)&=0,\end{aligned}}

est ${\frac {m_{1}}{n_{1}}}$ ; donc les points $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ , $\alpha$ , $a$ , $a_{1}$ seront en involution si l’on a

$mm_{1}=nn_{1}$ .

Ainsi les conditions nécessaires et suffisantes pour que les trois systèmes de cinq points

$\mathrm {B} ,\mathrm {C} ,\alpha ,a,a_{1},$

$\mathrm {C} ,\mathrm {A} ,\beta ,b,b_{1},$

$\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\gamma ,c,c_{1},$

( $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ points doubles) soient en involution, seront

$ll_{1}=mm_{1}=nn_{1}$ .

Il s’ensuit qu’en prenant arbitrairement la droite $\mathrm {R}$ ,

$lp+mq+nr=0$ ,

la droite $\mathrm {R} _{1}$ sera

${\frac {p}{l}}+{\frac {q}{m}}+{\frac {r}{n}}=0.$

Note

↑ [p. 491 modifica]Le questioni di cui si tratta nelle Memorie 4, 5, 6, 7, questioni poste rispettivamente nel tomo XV, p. 154; t. XV, p. 383; t. XVI, p. 126; t. XVI, p. 127 della raccolta citata, sono le seguenti:
321. Dans un hexagone gauche ayant les côtés opposés égaux et paralléles, les milieux des côtés sont dans un même plan.
322. Dans un polygone gauche d’un nombre pair de côtés, ayant les côtés opposés égaux et parallèles, les droites qui joignent les sommets opposés et celles qui joignent les milieux des côtés opposés passent par un seul et même point.
344. Un point fixe O est donné dans un angle plan de sommet $\mathrm {A}$ ; par $\mathrm {O}$ on mène une transversale rencontrant les côtés de l’angle en $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ ; $s$ et $s_{1}$ étant les aires des triangles $\mathrm {OBA}$ , $\mathrm {OCA}$ , la somme ${\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s_{1}}}$ est constante, de quelque manière qu’on mène la transversale (Mannheim). [p. 492 modifica]
368. $p$ , $q$ , $r$ sont trois fonctions entières linéaires en $x$ et $y$ ; $p=0$ , $q=0$ $r=0$ sont les équations respectives des côtés $\mathrm {AB}$ , $\mathrm {BC}$ , $\mathrm {CA}$ d’un triangle $\mathrm {ABC}$ ; $p-q=0$ , $q-r=0$ , $r-p=0$ sont donc les équations de trois droites passant respectivement par les sommets $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ , $\mathrm {A}$ , et se rencontrant au même point $\mathrm {D}$ ; soient $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ les points où $\mathrm {AD}$ rencontre $\mathrm {BC}$ , où $\mathrm {BD}$ rencontre $\mathrm {CA}$ , où $\mathrm {CD}$ rencontre $\mathrm {AB}$ . Trouver en fonction de $p$ , $q$ , $r$ l’equation de la conique qui touche les côtés du triangle en $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ .
369. Mêmes données que dans la question précédente. Il s’agit de mener deux droites $\mathrm {R}$ , $\mathrm {S}$ rencontrant $\mathrm {AB}$ aux points $r_{1}$ , $s_{1}$ , $\mathrm {BC}$ aux points $r_{2}$ , $s_{2}$ , $\mathrm {CA}$ aux points $r_{3}$ , $s_{3}$ , de telle sorte que les trois systèmes de cinq points $r_{1}$ , $s_{1}$ , $\mathrm {A}$ , $\gamma$ , $\mathrm {B}$ ; $r_{2}$ , $s_{2}$ , $\mathrm {B}$ , $\alpha$ , $\mathrm {C}$ ; $r_{3}$ , $s_{3}$ , $\mathrm {C}$ , $\beta$ , $\mathrm {A}$ soient en involution, $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ étant des points doubles. Trouver en fonction de $p$ , $q$ , $r$ les équations des droites $\mathrm {R}$ , $\mathrm {S}$ .

[1] [p. 491 modifica]Le questioni di cui si tratta nelle Memorie 4, 5, 6, 7, questioni poste rispettivamente nel tomo XV, p. 154; t. XV, p. 383; t. XVI, p. 126; t. XVI, p. 127 della raccolta citata, sono le seguenti:
321. Dans un hexagone gauche ayant les côtés opposés égaux et paralléles, les milieux des côtés sont dans un même plan.
322. Dans un polygone gauche d’un nombre pair de côtés, ayant les côtés opposés égaux et parallèles, les droites qui joignent les sommets opposés et celles qui joignent les milieux des côtés opposés passent par un seul et même point.
344. Un point fixe O est donné dans un angle plan de sommet $\mathrm {A}$ ; par $\mathrm {O}$ on mène une transversale rencontrant les côtés de l’angle en $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ ; $s$ et $s_{1}$ étant les aires des triangles $\mathrm {OBA}$ , $\mathrm {OCA}$ , la somme ${\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s_{1}}}$ est constante, de quelque manière qu’on mène la transversale (Mannheim). [p. 492 modifica]
368. $p$ , $q$ , $r$ sont trois fonctions entières linéaires en $x$ et $y$ ; $p=0$ , $q=0$ $r=0$ sont les équations respectives des côtés $\mathrm {AB}$ , $\mathrm {BC}$ , $\mathrm {CA}$ d’un triangle $\mathrm {ABC}$ ; $p-q=0$ , $q-r=0$ , $r-p=0$ sont donc les équations de trois droites passant respectivement par les sommets $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ , $\mathrm {A}$ , et se rencontrant au même point $\mathrm {D}$ ; soient $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ les points où $\mathrm {AD}$ rencontre $\mathrm {BC}$ , où $\mathrm {BD}$ rencontre $\mathrm {CA}$ , où $\mathrm {CD}$ rencontre $\mathrm {AB}$ . Trouver en fonction de $p$ , $q$ , $r$ l’equation de la conique qui touche les côtés du triangle en $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ .
369. Mêmes données que dans la question précédente. Il s’agit de mener deux droites $\mathrm {R}$ , $\mathrm {S}$ rencontrant $\mathrm {AB}$ aux points $r_{1}$ , $s_{1}$ , $\mathrm {BC}$ aux points $r_{2}$ , $s_{2}$ , $\mathrm {CA}$ aux points $r_{3}$ , $s_{3}$ , de telle sorte que les trois systèmes de cinq points $r_{1}$ , $s_{1}$ , $\mathrm {A}$ , $\gamma$ , $\mathrm {B}$ ; $r_{2}$ , $s_{2}$ , $\mathrm {B}$ , $\alpha$ , $\mathrm {C}$ ; $r_{3}$ , $s_{3}$ , $\mathrm {C}$ , $\beta$ , $\mathrm {A}$ soient en involution, $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ étant des points doubles. Trouver en fonction de $p$ , $q$ , $r$ les équations des droites $\mathrm {R}$ , $\mathrm {S}$ .

[1]