Opere matematiche di Luigi Cremona/Seconde solution de la question 369

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Seconde solution de la question 369

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Seconde solution de la question 368

Rivista bibliografica

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[p. 33 modifica]

7.

SECONDE SOLUTION DE LA QUESTION 369.¹

Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.^er série, tome XVI (1857), pp. 251-252.

Soient

p = 0, q = 0, r = 0

les équations des côtés BC, CA, AB d’un triangle ABC;

q — r = 0, r — p = 0, p — q= 0

sont donc les équations de trois droites passant respectivement par les sommets A, B, C et se rencontrant au même point D; soient α, β, γ les points où AD, BD, CD rencontrent BC, CA, AB. Soient

lp + mq + nr = 0,

l₁p + m₁q + n₁r = 0

les équations de deux droites R, R₁ qui rencontrent respectivement BC, CA, AB aux points a, a₁; b, b₁; c, c₁; par conséquent, les équations des droites Da, Da₁, son

n (r — p) — m (p — q) = 0,

n₁ (r — p) — m₁ (p — q) = 0.

Le rapport anharmonique des quatre droites DB, DC, Dα, Da₁

r — p = 0,
p — q = 0,
r — p — (p — q) = 0,
r — p —

{\frac {m}{n}}

(p — q) = 0

[p. 34 modifica]

est ${\frac {n}{m}}$ (Salmon, Conic sections, p. 53) et le rapport anharmonique des droites conjuguées DC, DB, Dα, Da₁,

p — q = 0,
r — p = 0,
p — q — (r — p) = 0,
p — q —

{\frac {n_{1}}{m}}

(r — p) = 0,

est ${\frac {m_{1}}{n_{1}}}$ ; donc les points B, C, α, a, a₁ seront en involution si l’on a

mm₁ = nn₁.

Ainsi les conditions nécessaires et suffisantes pour que les trois systèmes de cinq points

B, C, α, a, a₁,

C, A, β, b, b₁,

A, B, γ, c, c₁,

(α, β, γ points doubles) soient en involution, seront

ll₁ = mm₁ = nn₁.

Il s’ensuit qu’en prenant arbitrairement la droite R,

lp + mq + nr = 0,

la droite R₁ sera

${\frac {p}{l}}+{\frac {q}{m}}+{\frac {r}{n}}=0.$

Note

↑ [p. 491 modifica]Le questioni di cui si tratta nelle Memorie 4, 5, 6, 7, questioni poste rispettivamente nel tomo XV, p. 154; t. XV, p. 383; t. XVI, p. 126; t. XVI, p. 127 della raccolta citata, sono le seguenti:
321. Dans un hexagone gauche ayant les côtés opposés égaux et paralléles, les milieux des côtés sont dans un même plan.
322. Dans un polygone gauche d’un nombre pair de côtés, ayant les côtés opposés égaux et parallèles, les droites qui joignent les sommets opposés et celles qui joignent les milieux des côtés opposés passent par un seul et même point.
344. Un point fixe O est donné dans un angle plan de sommet A; par O on mène une transversale rencontrant les côtés de l’angle en B et C, s et s₁ étant les aires des triangles OBA, OCA, la somme ${\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s_{1}}}$ est constante, de quelque manière qu’on mène la transversale (Mannheim) [p. 492 modifica]
368. p, q, r sont trois fonctions entières linéaires en x et y; p = 0, q = 0, r = 0 sont les équations respectives des côtés AB, BC, CA d’un triangle ABC; p — q = 0, q — r = 0, r — p = 0 sont donc les équations de trois droites passant respectivement par les sommets B, C, A, et se rencontrant au même point D; soient α, β, γ les points où AD rencontre BC, où BD rencontre CA, où CD rencontre AB. Trouver en fonction de p, q, r l’equation de la conique qui touche les côtés du triangle en, α, β, γ.
369. Mêmes données que dans la question précédente. Il s’agit de mener deux droites R, S rencontrant AB aux points r₁, s₁, BC aux points r₂, s₂, CA aux points r₃, s₃, de telle sorte que les trois systèmes de cinq points r₁, s₁, A, γ, B; r₂, s₂, B, α, C; r₃, s₃, C, β, A soient en involution, α, β, γ étant des points doubles. Trouver en fonction de p, q, r les équations des droites R, S.

[1] [p. 491 modifica]Le questioni di cui si tratta nelle Memorie 4, 5, 6, 7, questioni poste rispettivamente nel tomo XV, p. 154; t. XV, p. 383; t. XVI, p. 126; t. XVI, p. 127 della raccolta citata, sono le seguenti:
321. Dans un hexagone gauche ayant les côtés opposés égaux et paralléles, les milieux des côtés sont dans un même plan.
322. Dans un polygone gauche d’un nombre pair de côtés, ayant les côtés opposés égaux et parallèles, les droites qui joignent les sommets opposés et celles qui joignent les milieux des côtés opposés passent par un seul et même point.
344. Un point fixe O est donné dans un angle plan de sommet A; par O on mène une transversale rencontrant les côtés de l’angle en B et C, s et s₁ étant les aires des triangles OBA, OCA, la somme ${\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s_{1}}}$ est constante, de quelque manière qu’on mène la transversale (Mannheim) [p. 492 modifica]
368. p, q, r sont trois fonctions entières linéaires en x et y; p = 0, q = 0, r = 0 sont les équations respectives des côtés AB, BC, CA d’un triangle ABC; p — q = 0, q — r = 0, r — p = 0 sont donc les équations de trois droites passant respectivement par les sommets B, C, A, et se rencontrant au même point D; soient α, β, γ les points où AD rencontre BC, où BD rencontre CA, où CD rencontre AB. Trouver en fonction de p, q, r l’equation de la conique qui touche les côtés du triangle en, α, β, γ.
369. Mêmes données que dans la question précédente. Il s’agit de mener deux droites R, S rencontrant AB aux points r₁, s₁, BC aux points r₂, s₂, CA aux points r₃, s₃, de telle sorte que les trois systèmes de cinq points r₁, s₁, A, γ, B; r₂, s₂, B, α, C; r₃, s₃, C, β, A soient en involution, α, β, γ étant des points doubles. Trouver en fonction de p, q, r les équations des droites R, S.

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