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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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Così, se un inviluppo della classe $m$ ha una tangente $(m)$^pla, esso è il sistema di $m$ punti situati sopra questa retta.

Una curva semplice dell'ordine $n$ non può avere, oltre ad un punto $(n-1)$^plo, anche un punto doppio, perchè la retta che unisce questi due punti avrebbe $n+1$ intersezioni comuni colla curva. Analogamente, una curva semplice della classe $m$ non può avere una tangente $(m-1)$^pla ed inoltre un'altra tangente doppia, perchè esse rappresenterebbero $m+1$ tangenti concorrenti nel punto comune alle medesime.

Art. VI.

Punti e tangenti comuni a due curve.

32. In quanti punti si segano due curve, gli ordini delle quali siano $n,\,n'$?⁴⁶ Ammetto, come principio evidente, che il numero delle intersezioni dipenda unicamente dai numeri $n,\,n'$, talchè rimanga invariato, sostituendo alle curve date altri luoghi dello stesso ordine. Se alla curva d’ordine $n'$ si sostituiscono $n'$ rette, queste incontrano la curva d'ordine $n$ in $nn'$ punti; dunque: due curve, i cui ordini siano $n,\,n'$, si segano in $nn'$ punti (reali, imaginari, distinti o coincidenti).

Si dirà che due curve hanno un contatto bipunto, tripunto, quadripunto, cinquipunto, sipunto, ... quando esse abbiano due, tre, quattro, cinque, sei, ... punti consecutivi comuni, e per conseguenza anche due, tre, quattro, cinque, sei, ... tangenti consecutive comuni.

Se per un punto $a$ passano $r$ rami di una curva ed $r'$ di un’altra, quel punto dee considerarsi come intersezione di ciascun ramo della prima curva con ciascun ramo della seconda, epperò equivale ad $rr'$ intersezioni sovrapposte. Se, inoltre, un ramo della prima curva ed un ramo della seconda hanno in $a$ la tangente comune, essi avranno ivi due punti comuni, onde $a$ equivarrà ad $rr'+1$ intersezioni. In generale, se in $a$ le due curve hanno $s$ tangenti comuni, $a$ equivale ad $rr'+s$ punti comuni alle due curve.

Come caso speciale, quando le $r$ tangenti della prima curva e le $r'$ dell'altra, nel punto comune $a$, coincidono tutte insieme in una sola retta ${\rm {T}}$, questa, supposto $r'<r$, rappresenta $r'$ tangenti comuni, onde il numero delle intersezioni riunite in $a$ sarà $r'(r+1)$. Ma questo numero può divenir più grande⁴⁷, ogniqualvolta la retta ${\rm {T}}$ abbia un contatto più intimo con alcuna delle linee proposte, cioè la incontri in più di $r+1$ od $r'+1$ punti riuniti in $a$. Per esempio, se in $a$ la retta ${\rm {T}}$ avesse $2r$ punti comuni colla prima curva ed $r'+1$ colla seconda, il punto $a$ equivarrebbe ad $r(r'+1)$ intersezioni delle due curve. Del che è facile persuadersi, assumendo un sistema di $r$ curve ${\rm {K}}$