Matematica allegra/1315
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Per primo andrò, a disturbare il filosofo Zenone. Si tratta nientemeno che di quel filosofo del V secolo a. C., nato ad Elea, nella Magna Grecia (e, più esattamente, nella Lucania) luminare della scuola eleatica, scuola a tendenza antipitagorica, che combatteva cioè certe affermazioni e certe teorie del grande Pitagora o dei suoi discepoli. La Scuola Italica di Pitagora era a Crotone, quella di Zenone era non troppo distante, a Elea... era più che logico che nascessero beghe. Erano Magni greci... - ma erano anche Magni italici, e perciò qualcosa da litigare dovevano trovarlo. A differenza di molti loro posteri, che litigarono per cose vane, essi almeno litigavano per cose dello spirito...
Zenone, per combattere certe teorie pitagoriche, scrisse e lasciò alcune opere, nelle quali affioravano paradossi polemici, che intendevano dimostrare come certi principi della scuola di Crotone fossero assurdi. Questo che vi citerò adesso, è uno di quelli.
Disse dunque Zenone:
«Indicendo una gara di corsa fra il velocissimo Achille (detto, ricordate l’Iliade? pié veloce) e una tartaruga, la tartaruga non potrà mai essere dal velocissimo raggiunta, se egli ad essa abbia concesso un vantaggio anche piccolo. Supponendo infatti che Achille abbia concesso il vantaggio di 1000 piedi lineari, e che la velocità del pié veloce sia di 10 volte quella della tartaruga, è logico che quando Achille avrà raggiunto il 1000° piede, la tartaruga avrà fatto altri 100 piedi in avanti; quando Achille avrà percorso questi 100 piedi, la bestia avrà percorso altri 10 piedi; e quando egli avrà percorso i 10 piedi, essa avrà fatto un altro piede. Insomma, Achille si avvicinerà sempre più alla tartaruga, ma non potrà raggiungerla mai».
Questo è un paradosso bello e buono, ossia una proposizione assurda, e Zenone ben lo sapeva, ma egli la formulò per dimostrare l’errore di una concezione dello spazio che i Pitagorici sostenevano.
Naturalmente Achille raggiunge la tartaruga... e la raggiunge ben presto, come è provabile anche oggi, basta che un Achille moderno voglia tentar la prova. Ma quando, e in che punto l’inseguimento avrà fine perché la fuggitiva sarà raggiunta? Proviamo a chiamare con v la velocità della tartaruga; la velocità di Achille sarà allora 10 volte v, ossia 10v. Voi sapete dalle ridotte cognizioni fisiche sul moto di cui vi hanno fatto cenno, che lo spazio percorso s, è dato dal prodotto della velocità v per il tempo t; data la partenza, dopo il tempo t, la tartaruga avrà percorso s = vt e Achille s = 10vt, essendo, come abbiamo visto 10v la velocità di Achille rispetto a quella della tartaruga.
Ma al momento in cui Achille raggiungerà la bestia, essa si troverà al punto 1000 + vt (per Il vantaggio avuto di 1000 piedi); e Achille in quel momento avrà percorso 10vt. Uguagliando questi due percorsi avremo l’equazione che, risolta ci darà il tempo necessario per il raggiungimento:
da cui 10vt = 1000 + vt; 9vt = 1000; t=1000/9v
Lo spazio percorso si potrà trovare moltiplicando il t per la velocità; epperciò Achille raggiungerà la bestia dopo aver percorso piedi (1000/9v) x 10v = piedi 10000/9; e la tartaruga sarà raggiunta dopo aver percorso piedi (1000/9v) x v = piedi 1000/9. La differenza tra questi due percorsi dà precisamente piedi 9000/9 = piedi 1000, che è il vantaggio concesso da Achille.
Spero che questo vi abbia accontentati, e che non facciate più i musi: è uno di quei problemini che interessano anche chi, per caso, non riesce a capirlo nella sua stesura algebrica, perché la sua essenza è facilmente comprensibile. Al posto di Achille, ai tempi moderni, potremmo mettere una Lancia o una Mercedes tipo grande Corsa... e il problema rimarrebbe sostanzialmente lo stesso. Però, dite la verità, vedere Moss o Fangio all’inseguimento di una tartaruga dovrebbe essere uno spettacolo piuttosto carino. E che prezzi, per i posti in tribuna!