Matematica allegra/1310
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Anzi, se avete il papà o lo zio ingegnere o professore di matematica, o un cugino studente di quelle materie all’Università, o anche maturando del liceo scientifico o dell’Istituto Tecnico o del Nautico, mettetelo alla prova. Questo problemone che vi sottopongo si dovrebbe risolvere risolvendo un sistema di 12° grado (roba stratosferica) di 4 equazioni a 4 incognite. Non fatevi venire il mal di pancia! Forse non lo risolveranno neanche l’ingegnere o il professore... o il cugino studente... A meno che... non prendano una certa scorciatoia che io indicherò a voi, o almeno a quei pochissimi di voi che sono uno o due anni avanti rispetto alla 3a media. Quanto agli altri... forse sarebbe bene che per ora facessero un bel salto a piedi giunti... e passassero subito agli esercizi seguenti.
Ed ecco il razzo stratosferico:
«Quando Cheope ordinò l’inizio dei lavori della Piramide - al riguardo della quale già vi ho detto tante cose - vennero subito disposti i servizi per il rifornimento dei viveri e dei materiali alle squadre innumerevoli degli operai. Furono costruiti fra l’altro 4 edifici, allineati, sopra un molo lungo il Nilo, su un allineamento totale di 600 piedi, ivi compresi i 41 piedi di distanza fra ogni edificio e il seguente. Erano di forma cubica esternamente ed internamente, e lo spessore dei muri era in tutti di 6 piedi. Diverse erano però le dimensioni dei quattro edifici, e le loro altezze erano tali che, nell’ordine, formavano una proporzione (e cioè che l’altezza del 1° stava a quella del 2°, come quella del 3° stava a quella del 4°). Il pavimento dei quattro magazzini venne coperto con 9265 lastre di pietra levigata, di forma rettangolare e di dimensioni piedi 2 x 2½. Il volume interno complessivo dei magazzini venne calcolato in piedi cubici 5.036.031. Qual era la lunghezza di ogni magazzino espressa in piedi?».
Non c’è dubbio: si tratta proprio di un affare complicato piuttosto che no. Intanto vediamo: erano quattro magazzini, allineati su 600 piedi, con intervallo di 41 piedi fra magazzino e magazzino. Poiché gli intervalli erano tre, la lunghezza complessiva dei quattro magazzini era di (600 - 41 x 3 = 600 - 123) piedi 477. Questo era il fronte esterno, ma per avere la somma delle lunghezze interne dovremo togliere ancora lo spessore delle 8 pareti (due per ogni magazzino) ossia (8 x 6) piedi 48. La somma delle larghezze interne sarà perciò di (477 - 48) piedi 429. Se noi chiamiamo x1, x2, x3, x4 rispettivamente le 4 larghezze interne avremo: x1 + x2 + x3 + x4 = 429. E questa sarà la prima equazione.
Trattandosi di locali cubici, per ogni magazzino lunghezza e altezza saranno tutti uguali, e avremo, da quanto dice il testo del problema: x1 : x2 = x3 : x4, e questa sarà la 2a equazione, che si potrà scrivere anche cosí: x1 x4 = x2 x3 o, ciò che è lo stesso: x1 x4 - x2 x3 = 0 o infine, che è sempre lo stesso: x2 x3 - x1 x4 = 0. Non dovete credere che quest’ultima forma della 2a equazione sia messa qui solo per mio capriccio. No; c’è il suo motivo, che poi vedremo.
Il pavimento di ogni magazzino ha forma di quadrato, e la sua area sarà x21, x22 ecc... La somma delle superfici dei quattro pavimenti sarà uguale a quella di tutte le 9265 lastre che li hanno pavimentati, ossia (9265 x 2 x 2½) piedi quadrati 46325. Ed ecco spuntare la 3a equazione: x21 + x22 + x23 + x24 = 46325.
La 4a equazione è poi facilmente ricavata dall’ultimo dato del problema che precisa il volume complessivo dei quattro vani, ossia dei quattro cubi: x31 + x32 + x33 + x34 = 5036031.
Abbiamo cosí il seguente sistema di 12° grado, di 4 equazioni a 4 incognite:
x1 + x2 + x3 + x4 = 429 (1)
x1 x4 - x2 x3 = 0 (2) oppure x2 x3 - x1 x4 = 0 (2bis)
x21 + x22 + x23 + x24 = 46325 (3)
x31 + x32 + x33 + x34 = 5036031 (4)
Poiché la strada grande sarebbe molto complicata, vediamo un po’ quella tale scorciatoia.
Moltiplichiamo per 2 ambi i membri della (2): 2x1 x4 - 2x2 x3 = 0 (5)
Sommiamo ora la (5) con la (3) membro a membro, e con opportuni spostamenti troviamo: (x21 + 2x1x4 + x24) + (x22 - 2x2x3 + x23) = 46325
(x1 + x4)2 + (x2 - x3)2 = 46325 (6).
Se questi stessi passaggi li avessimo fatti con la (2 bis) avremmo ottenuto:
(x2 + x3)2 + (x1 - x4)2 = 46325 (6bis).
Sia la (6) che la (6bis) ci dicono che 46325 è la somma di due quadrati di cui uno - (x1 + x4)2 o (x2 + x3)2 - ha la base molto prossima a 200, anzi presumibilmente maggiore di 200 (le misure dei lati non possono differire molto dalla misura media 429 : 4); e allora basterà che noi cerchiamo questi due quadrati per poter determinare la somma di due dimensioni, e la differenza delle altre due. Il numero 46325, come si trova praticamente, è uguale a 2142 + 232 ed è pure uguale a 2152 + 102, e non esiste alcun’altra combinazione di quadrati oltre il numero 40.000 (2002) che lo riproduca. Prendendo in esame la 1a somma di quadrati (vedremo poi, che la 2a la equivale col solo mutamento dell’ordine dei rapporti nella proporzione e cioè: x3 : x4 = x1 : x2, invece di x1 : x2 = x3 : x4), possiamo scrivere :
x1 + x4 =214 (7)
x2 - x3 = 23 (8)
e prendendo in esame la 2a:
x2 + x3 = 215 (9)
x4 - x1 = 10 (10)
Sommando e poi sottraendo la (7) con la (10) e a loro volta la (8) con la (9) otteniamo:
x4 = 112; x1 = 102
x2 = 119; x3 = 96
La soluzione del sistema è dunque data da quelle quattro altezze, o lunghezze interne, nei due ordini seguenti: 102, 119, 96, 112, oppure 96, 112, 102, 119. A queste lunghezze interne dobbiamo aggiungere lo spessore dei due muri ognuna, per cui le soluzioni del problema sono due: 1°) la lunghezza dei 4 magazzini è rispettivamente: piedi 114, 131, 108, 124; 2°) la lunghezza dei magazzini è rispettivamente 108, 124, 114, 131. Come vedete, ci siamo arrivati, e senza troppa fatica: la scorciatoia ci ha portato alla meta. Per vostro divertimento potrete verificare se la somma dei quadrati di 102, 119, 96, 112 dà proprio 46.325, e se la somma dei loro cubi dà proprio 5.036.031. Per coloro che mi hanno potuto seguire, dirò ancora che essendo il sistema di 12° grado, esistono certamente altre 10 soluzioni che potranno essere reali o immaginarie, ma che comunque non ci interessano e non interessano il problema, che vuole solo soluzioni reali e positive.