Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 57

Capitolo 8 - Derivata del quoziente di due funzioni

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§ 57. — Derivata del quosiente di due funzioni.


Ora cerchiamo la derivata di , supponendo che sia una funzione differente da zero avente derivata finita.

Avremo

,


che è il limite del prodotto di due fattori.

La è continua, perchè la sua derivata esiste (ed è finita); quindi tende a per , e perciò tende a ; dunque il limite del primo fattore è .

Il secondo fattore è il rapporto incrementale della funzione e il suo limite per è la derivata (che esiste ed è finita); quindi:

;


cioè per derivare la funzione si divide la derivata della funzione per il quadrato della funzione stessa e si cambia segno al quoziente. [p. 182 modifica]Ora, per il teorema sulla derivazione del prodotto di due funzioni se e sono due funzioni continue aventi derivata finita, se , e si pone , si ha:

,


ossia

;


cioè si ha il

Teorema. La derivata del quoziente di due funzioni continue ) che hanno derivata finita è una frazione il cui denominatore è il quadrato della funzione denominatore , e il cui numeratore si ottiene sottraendo dal prodotto della derivata del numeratore per il denominare il prodotto della derivata del denominatore per il numeratore .

Questo teorema vale anche per le funzioni complesse.

Esempi.


1° La derivata di è , cioè è .

2° Nello stesso modo si prova che la derivata di vale .

Questa formola si può anche dimostrare ricordando che , e usando poi del primo risultato di questo paragrafo.