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derivate, differenziali

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Sostituendo a $\psi (x),\psi '(x)$ i valori dedotti dalle precedenti formole, si ha infine:

$f'(x)=\varphi '(x)\varphi _{2}(x)\varphi _{3}(x)+\varphi _{1}(x)\varphi '_{2}(x)\varphi _{3}(x)+\varphi _{1}(x)\varphi _{2}(x)\varphi '_{3}(x)$.

Studiando in modo simile i prodotti di $n$ funzioni derivabili, si ha:

La derivata del prodotto di n funzioni derivabili esiste ed è la somma degli n prodotti ottenuti moltiplicando la derivata di uno dei fattori per gli altri n — 1 fattori.

Questo teorema vale anche per funzioni complesse.

§ 57. — Derivata del quosiente di due funzioni.

Ora cerchiamo la derivata di $y={\frac {1}{\psi (x)}}$, supponendo che $\psi (x)$ sia una funzione differente da zero avente derivata finita.

Avremo

$y'=\lim _{h=0}{\frac {{\frac {1}{\psi (x+h)}}-{\frac {1}{\psi (x)}}}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {\psi (x)-\psi (x+h)}{h\psi (x)\psi (x+h)}}=$

$\lim _{h=0}{\frac {-1}{\psi (x)\psi (x+h)}}{\frac {\psi (x+h)-\psi (x)}{h}}$,

che è il limite del prodotto di due fattori.

La $\psi (x)$ è continua, perchè la sua derivata esiste (ed è finita); quindi $\psi (x+h)$ tende a $\psi (x)$ per $h=0$, e perciò $\psi (x)\psi (x+h)$ tende a $[\psi (x)]^{2}$; dunque il limite del primo fattore è ${\frac {1}{[\psi (x)]^{2}}}$.

Il secondo fattore è il rapporto incrementale della funzione $\psi (x)$ e il suo limite per $h=0$ è la derivata $\psi '(x)$ (che esiste ed è finita); quindi:

$y'=-{\frac {1}{[\psi (x)]^{2}}}\psi '(x)$;

cioè per derivare la funzione ${\frac {1}{\psi (x)}}$ si divide la derivata della funzione $\psi (x)$ per il quadrato della funzione stessa e si cambia segno al quoziente.