Lezioni di analisi matematica/Capitolo 3/Paragrafo 8

by Guido Fubini

Capitolo 3 - Coordinate di un punto nel piano

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 3 - Coordinate di un punto nel piano

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§ 8. — Coordinate di un punto nel piano.

Assai spesso avviene che si voglia determinare con numeri la posizione di un punto sopra una superficie. Così, per esempio, la posizione di un punto $M$ sulla superficie terrestre si determina assegnandone la longitudine e la latitudine, che si potranno chiamare le coordinate di $M$.

La posizione di un punto $M$, posto sul pavimento di una stanza poligonale, si può determinare assegnandone le distanze da due pareti concorrenti, eccetera.

$\alpha$) Vogliamo vedere come si possa, mediante una coppia di numeri, determinare la posizione di un punto $M$ su un piano assegnato.

Molteplici metodi possono servire a tale scopo: il più semplice è quello delle cosidette coordinate cartesiane. Fig. 5.

Siano $x'x$ ed $y'y$ due rette distinte (figura 5) (assi coordinati) concorrenti in un punto $O$ (origine), su cui sia fissato il verso positivo, per esempio quello da $x'$ ad $x$ e quello da $y'$ ad $y$. Ad uno dei due assi, generalmente all′asse $x'x$, si dà il nome di asse delle ascisse, all′altro asse $y'y$ il nome di asse delle ordinate; e si suppone che l′angolo $\omega =(xy)$ sia congruo ad un angolo positivo minore di 180°. Per determinare la posizione $M$ di un punto del piano, basterà determinare la posizione dei punti $P$, $Q$, intersezioni degli assi con le parallele agli assi stessi tirate da $M$, ossia dare le misure dei segmenti $OP$, $OQ$ in valore assoluto e in segno. Queste misure, che si dicono le coordinate di $M$, si indicano rispettivamente con $x$, $y$ ed hanno ricevuto il nome di ascissa e di ordinata del punto $M$.

Viceversa è ben chiaro che, scelti due numeri qualunque $a,b$, esiste uno ed un solo punto del piano il quale abbia $a$ per ascissa e $b$ per ordinata. Infatti si costruiscano il punto $P$ ed il punto $Q$ sui due assi, in guisa che sia in valor assoluto ed in segno $OP=a$, $OQ=b$; il punto $M$ d’incontro delle parallele tirate da $P$, $Q$ rispettivamente alle rette $Oy$, $Ox$ è il punto cercato. Fig. 6.

I raggi $Ox$, $Oy$, $Ox'$, $Oy'$ dividono il piano in 4 regioni, che portano rispettivamente i nomi di I, II, III, IV quadrante (figura 6). Un punto del I quadrante ha positive entrambe le coordinate; un punto del II quadrante ha positiva l’ordinata, negativa l’ascissa; un punto del III ha negative entrambe le coordinate; un punto del IV ha positiva l’ascissa, negativa l’ordinata.

I punti della retta $x'x$: hanno nulla l’ordinata, quelli della $y'y$ hanno nulla l’ascissa, l’origine $O$ ha nulle entrambe le coordinate.

Sono poi vere le proposizioni reciproche.

Se l’angolo $\omega =(x,y)$ è retto, come supporremo quasi sempre, gli assi si dicono cartesiani ortogonali. In tal caso i valori assoluti delle coordinate di $M$ sono uguali alle distanze di $M$ dai due assi.

$\beta$) Supposti gli assi ortogonali, siano $M'$ ed $M''$ due punti di coordinate $x',y'$ ed $x'',y''$. Siano $P'$, $P''$ le proiezioni di $M'$, $M''$ su $x'x$; e $Q'$, $Q''$ le proiezioni di $M'$, $M''$ su $y'y$. Il segmento $PQ$ è evidentemente l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, i cui cateti sono paralleli agli assi, e sono rispettivamente uguali a $P'P''$ ed a $Q'Q''$. La misura di questi cateti è perciò $x''-x'$ e $y''-y'$; per il teorema di Pitagora dunque:

$PQ^{2}=(x'-x'')^{2}+(y'-y'')^{2}$.

In particolare la distanza $OP$ dall’origine al punto $P$ di coordinate $(x,y)$ è data dalla $OP^{2}=x^{2}+y^{2}$.

$\gamma$) La posizione di un punto $P$ in un piano si può individuare anche mediante un altro sistema di coordinate: il sistema delle coordinate polari. Si scelgano ad arbitrio nel piano un punto $O$ e un raggio $Ox$ uscente da $O$. Si assumano poi come coordinate di un punto $P$ del piano la distanza $OP$ (considerata come positiva), a cui si dà il nome di raggio vettore, e l’angolo dei raggi $Ox$, $OP$, a cui Fig. 7.si dà il nome di anomalia (figura 7). Il primo s’indica generalmente con $\rho$, la seconda con $\theta .$ Le coordinate cartesiane $x,y$ di $P$, quando si assumano come assi coordinati la retta $Ox$ e la retta normale $Oy$ (tale che l’angolo $xy$ sia retto), sono le proiezioni di $OP$ sopra $Ox$ ed $Oy$; cosicchè si ha:

$x=\rho \cos {(x\;\rho )}=\rho \cos {\theta }$;

$y=\rho \cos {(y\;\rho )}=\rho \cos {(yx+x\rho )}=\rho \operatorname {sen} {(x\rho )}=\rho \operatorname {sen} {\theta }$.

Per il punto $O$ (origine) si ha $\rho =0$, mentre $\theta$ è indeterminato.

Per tutti gli altri punti $\theta$ è determinato a meno di multipli di 360°, ossia di $2\pi$ radianti.

Dalle precedenti formole si trae anche:

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$,

$\cos {\theta }={\frac {x}{\rho }}$,

$\operatorname {sen} {\theta }={\frac {y}{\rho }}$,

(dove il radicale si considera come positivo); queste formole servono a trovare $\rho$ e $\theta$ quando siano date $x$, $y$.

Questi metodi si possono perfezionare ed estendere allo spazio; è però ufficio della geometria analitica svolgere la teoria delle coordinate, e dimostrarne le importantissime applicazioni. Noi, nel seguito di questo libro, supporremo noti al lettore i principî fondamentali di questa scienza.