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capitolo iii — § 8

tirate da $M$, ossia dare le misure dei segmenti $OP$, $OQ$ in valore assoluto e in segno. Queste misure, che si dicono le coordinate di $M$, si indicano rispettivamente con $x$, $y$ ed hanno ricevuto il nome di ascissa e di ordinata del punto $M$.

Viceversa è ben chiaro che, scelti due numeri qualunque $a,b$, esiste uno ed un solo punto del piano il quale abbia $a$ per ascissa e $b$ per ordinata. Infatti si costruiscano il punto $P$ ed il punto $Q$ sui due assi, in guisa che sia in valor assoluto ed in segno $OP=a$, $OQ=b$; il punto $M$ d’incontro delle parallele tirate da $P$, $Q$ rispettivamente alle rette $Oy$, $Ox$ è il punto cercato. Fig. 6.

I raggi $Ox$, $Oy$, $Ox'$, $Oy'$ dividono il piano in 4 regioni, che portano rispettivamente i nomi di I, II, III, IV quadrante (figura 6). Un punto del I quadrante ha positive entrambe le coordinate; un punto del II quadrante ha positiva l’ordinata, negativa l’ascissa; un punto del III ha negative entrambe le coordinate; un punto del IV ha positiva l’ascissa, negativa l’ordinata.

I punti della retta $x'x$: hanno nulla l’ordinata, quelli della $y'y$ hanno nulla l’ascissa, l’origine $O$ ha nulle entrambe le coordinate.

Sono poi vere le proposizioni reciproche.

Se l’angolo $\omega =(x,y)$ è retto, come supporremo quasi sempre, gli assi si dicono cartesiani ortogonali. In tal caso i valori assoluti delle coordinate di $M$ sono uguali alle distanze di $M$ dai due assi.

$\beta$) Supposti gli assi ortogonali, siano $M'$ ed $M''$ due punti di coordinate $x',y'$ ed $x'',y''$. Siano $P'$, $P''$ le proiezioni di $M'$, $M''$ su $x'x$; e $Q'$, $Q''$ le proiezioni di $M'$, $M''$ su $y'y$. Il segmento $PQ$ è evidentemente l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, i cui cateti sono paralleli agli assi, e sono rispettivamente uguali a $P'P''$ ed a $Q'Q''$. La misura di questi cateti è perciò $x''-x'$ e $y''-y'$; per il teorema di Pitagora dunque:

$PQ^{2}=(x'-x'')^{2}+(y'-y'')^{2}$.

In particolare la distanza $OP$ dall’origine al punto $P$ di coordinate $(x,y)$ è data dalla $OP^{2}=x^{2}+y^{2}$.

$\gamma$) La posizione di un punto $P$ in un piano si può individuare anche mediante un altro sistema di coordinate: il sistema