Lezioni di analisi matematica/Capitolo 10/Paragrafo 69

Capitolo 10 - Sviluppabilità di una funzione in serie di potenze

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Capitolo 10 - Sviluppabilità di una funzione in serie di potenze
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§ 69. — Sviluppabilità di una funzione in serie di potenze.


Ci proponiamo ora un problema intimamente connesso al precedente risultato, cioè il problema seguente:

Se è una funzione reale prefissata della variabile reale data in un intorno nel punto , come si può riconoscere se essa è sviluppabile in serie (di Taylor) di potenze della variabile ?

Se tale sviluppo è lecito, allora in un intorno di α dovrebbe, come sappiamo, valere la

che equivale (per definizione di serie) alla

.

La quantità tra si chiama rest0, e si indica con . È dunque

(8) dove

.

[p. 213 modifica]Condizione necessaria e sufficiente affinchè sia sviluppabile in un certo intervallo in serie di potenze è che la possegga ivi tutte le derivata e che il limite del resto per sia nullo1.

Esistono formole notevoli, che permettono di scrivere sotto forma più semplice. La più importante per il teorico è la formola di Cauchy. La più semplice, che basta per noi, è dovuta a Lagrange. Di essa ora ci occuperemo, facendo la sola ipotesi che in un intorno possegga le prime derivate.

Se noi confrontiamo la (7) valida per ogni polinomio col polinomio definito in (8), troviamo che per questo polinomio valgono le:

;  ;  ; ...;  : cosicchè:

  ;  ;  .....;  ; d'altra parte la derivata di è dappertutto nulla, perchè è di grado . E quindi si ha:

.


Applicando alla il teorema di Lagrange del § 63, pag. 199, troviamo così:

(8bis)     , dove è un punto intermedio tra ed .

Notiamo le seguenti due forme, che si possono dare alle (8), (8bis), ponendo , oppure :

.


Formole tutte che valgono, purchè nell'intervallo considerato esistano e siano finite le prime derivate di . [p. 214 modifica]Ponendo si trova

(9)

La prima formola coincide conl teorema della media di Lagrange. Si avverta che i numeri che compaiono nel 2°, nel 3°, nel 4° ..... membro, sono generalmente distinti l'uno dall'altro (pure essendo tutti compresi tra ed ).

Se , tale formola si riduce al citato teorema di Lagrange del § 63.

Esempi.


1° Per ottenere la forma, sotto cui Cauchy scrisse il resto poniamo in (8) al posto di ed al posto di . Otterremo:


donde:

.

Consideriamo come funzione della . Si ha:

,

dove è (per il teorema della media) un punto interno all'intervallo (). Quindi, poichè (come dimostra un facile calcolo)

,

si ha:}}

.


Questa formola è dovuta a Cauchy. Se poniamo , e quindi () si otterrà:

,

ove}}


dove naturalmente la figura affatto distinto da quello che compare nella formola di Lagrange.

Teorema (di Bernstein). Condizione necessaria affinchè sia sviluppabile in serie di Taylor nell'intervallo è che sia in tale intervallo differenza di due funzioni e , che ivi non sono negative insieme a tutte le loro derivate.

Infatti, se , si può indicare con [con ] [p. 215 modifica]rispettivamente la somma di quei termini della nostra serie, che hanno coefficiente positivo [negativo]; oppure porre

                         ,     .

Teorema (di Bernstein). La precedente condizione necessaria è anche sufficiente.

Sia infatti una funzione positiva in con tutte le sue derivate. Se , nell'intervallo si avrà

                                        (perchè),

donde, integrando


Cioè, posto , dove è compreso tra ed , sarà:

,

Posto:

,


si ha (Caouchy) che (per un valore, generalmente ignoto di ) la rappresenta il resto della serie di Taylor relativa alla funzione . Ora, per il nostro risultato,

e tende per a zero (ciò che basta ad assicurare la sviluppabilità di in serie di Taylor). Essendo sviluppabili in serie di taylor, altrettanto avverrà di


{{smaller|Anzi, il resto della corrispondente serie di Taylor, scritto nella forma di Cauchy, sarà uguale alla differenza tra le corrispondenti a ed a .

Tale resto di Cauchy sarà dunque minore di

(se),

e perciò, prendendo abbastanza grande, si può rendere minore di un numero picolo a piacere. Basta prendere Il secondo membro di questa disuguaglianza non dipende da ; cioè l'espressione del resto di Cauchy si può rendere, scegliendo abbastanza grande, minore di un umero prefissato (piccolo a piacere) contemporaneamente per tutti i valori di compresi tra ed

Teorema 3° (di Pringshein). 'L'espressione trovata del resto di cauchy converge pertanto uniformemente a zero, quando x varia in un qualsiasi intervallo , dove , e varia arbitrariamente nell'intervallo (0, 1).

Un risutato analogo non vale per il resto di Lagrange; il quale perciò presenta nelle applicazioni il difetto che talvolta non si può affermare esser nullo il suo limite, perchè non si conosce il valore esatto di . L'ignorare tale valore non ha invece importanza per il resto di Cauchy. [p. 216 modifica]3° Dimostrare che:

,


ove:

.


E scivere sotto forma analoga a quella di Cauchy

Ris. Si ponga .

4° Dimostrare che:

,


ove:

.


Ris. Si ponga , ossia .


4° Applicheremo quanto abbiamo appena detto allo sviluppo in serie di qualche funzione. Vediamo, p. es., di sviluppare in serie di Taylor la funzione .

Occorre anzitutto cercare le successive derivate di e calcolare il valore per . Si ha:

, per cui

, per cui

, per cui

, per cui


Essendo sarà ; cosicchè le derivate si riproducono periodicamente a quattro a quattro, ed in particolare si riprodurranno a quattro a quattro i valori che le successive derivate assumono per e che noi abbiamo precedentemente calcolati. Per la formola di Mac-laurin, supposto , cioè pari, abbiamo:

dove soddisfa certamente alla , poichè . Per passare dalla formola di mac-Laurin alla serie, basterò dimostrare che tende a zero quando tende all'infinito; ciò è evidente [p. 217 modifica]perchè già abbiamo visto (esempio 1° di pag. 151) che:

.


Si ha dunque:


In modo analogo si dimostra che:


Il resto della serie di Taylor per la funzione vale , ove è compreso tra ed (perchè è compreso tra ed , e die due potenze di è maggiore quella con esponente maggiore), Quindi non supera il più grande dei due numeri ed 2(che non varia con ). D'altra parte tende a zero per . Quindi è sviluppabile in serie di taylor, perchè il resto tende a zero per . Si trova:


Quest'ultima serie si dice esponenziale, e serve a calcolare un numero , di cui sia dato il logaritmo neperiano .

5° Si sviluppi in serie di Taylor . Poichè

,


sarà


quando il limite del resto sia nullo. Se è intero positivo, allora, per ogni valore della , la precedente serie si riduce a un polinomio, perchè per , ed il resto stesso è nullo già per , Si ritorna in tal caso alla nota [p. 218 modifica]formola del binomio di Newton. Se non è intero positivo, si dimostra che il resto tende a zero, e che il precedente sviluppo in serie è legittimo se (e non se ; il caso non ci interessa)3.

Tale serie dicesi binomiale

Questo risultato si può provare direttamente nel seguente modo. Dal § 45, pag. 151, sappiamo che la serie precedente converga per . Sia il suo valore. Sarà:

(per ).


Cosicchè si trova facilmente che:

, ossia , ossia . Quindi ha derivata nulla, cioè è costante. Dunque è costante, ossia (poichè è uguale ad per ) vale . Dunque non è mai nullo; e, poichè è positivo . sarà positivo in tutto il campo , ove è definito. Dunque . Per

anche . Quindi , cioè


c. d. d.


6° Per sviluppare in serie si noti che

, , ecc.,


Lo sviluppo in serie sarà:

(1),

purchè il resto tenda a zero. Senza studiare il resto possiamo provare direttamente la (1) per . [Nel caso si può dimostrare similmente che la serie precedente non converge; il caso di non ci interessa]. Se , il valore [p. 219 modifica]assoluto del rapporto di un termine al precedente nella serie (1), cioè tende per ad . Cosicchè la serie del secondo membro di (1) converge. Se ne è la somma, e si trova derivando:

;

il secondo membro è una progressione geometrica decrescente, il cui rapporto è , e la cui somma vale dunque . Dunque ha derivata nulla, ed è quindi costante. Ma per <math<x=0</math> tale differenza è nulla. Dunque è sempre nulla. E, come si poteva provare, .

Questa serie serve al calcolo diretto dei logaritmi dei numeri , ove , ossia dei numeri minori di . Ora, preso un qualsiasi numero positivo , almeno uno dei due numeri , è minore di . E quindi per mezzo della serie precedente si può calcolare uno dei numeri e quindi anche l'altro, perchè questi due numeri sono uguali e di segno contrario, cosicchè, se uno di essi è noto, è noto anche l'altro. Ma si possono trovare serie assai più comode per il calcolo numerico. Posto in (1) al posto di , si trae:

;


la quale, sottratta dalla (1), dà:

.


Posto , ossia , sarà per , cosicchè per ogni numero positivo si avrà:

(2) .

Così, p. es., se si pone , si trova:

. [p. 220 modifica]Se, tenendo conto, p. es., dei soli primi , poniamo:

,

commettiamo l'erore (in difetto)


Un tale errore è già dunque estremamente piccolo; e ancor minore lo si renderebbe, se aumentassimo il numero dei termini di cui si tien conto.

Si calcoli . Si trova

.


Essendo noto , basterà calcolare


ancora più comoda della precedente al calcolo numerico, come il lettore può verificare con metodo simile. I logaritmi fin qui calcolati sono in base . Per trovare i logaritmi decimali si ricordi che , ove si trova facilmente, in virtù dei precedenti calcoli numerici, uguale a e si dice modulo dei logaritmi decimali.

Si ha così .

Il calcolo delle tavole logaritmiche viene poi facilitato da altri artifici: p. es., dall'osservazione che , che il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori, che ; cosicchè, noto si calcola tosto quando si conosce ; il quale ultimo logaritmo viene espresso da (2) sotto forma di serie rapidamente convergente, specialmente se è un numero [p. 221 modifica]non troppo piccolo, ed è la cosidetta differenza tavolare, il cui ufficio è così noto a che abbia consultato tavale di logaritmi(pag. 201, § 63, γ).

7° In modo affatto analogo si prova che per

, ,

vale la:


Basta osservare che per la serie al secondo membro converge ed ha per derivata, e che per essa si annulla come . Da tale serie si deducono formole notevoli per il calcolo di .

Così osservando che e che , si trova, ponendo :


Un metodo ancor più comodo per il calcolo numeri di è il seguente.

Sia l'angolo, la cui tangente è . Sarà

.


Essendo , sarà . Esisterà un angolo positivo tale che

.

.

Sarà allora:

[p. 222 modifica]donde, ponendo nella nostra serie successivamente , si trova:

.

la quale formola ha servito al calcolo di fino alla cifra decimale. Come esercizio, il lettore ne deduca il valore di con due cifre decimali esatte.

8° Analogamente si osservi che:

;

che per si può sviluppare in serie binomiale:


Si trova per con metodo analogo al precedente che:




Note

  1. Il teorema di Cauchy, citato in nota al § 66, ci dice che queste condizioni sarebbero certamente soddisfatte in un cerchio, se fosse funzione della variabile complessa x con derivata prima finita e continua!!.
  2. Se , è il più grande di ; invece, se , è .
  3. Questo sviluppo in serie può essere talvolta utile per il calcolo di , se . Detto un intero positivo tale che sia compreso tra e , si ponga , dove sarà . Sarà , dove è posto . Si può allora applicare la formola precedente. Il calcolo è specialmente rapido, se è piccolo. E' forse inutile avvertire che è sempre sottinteso di dare alla valori tali che esista un valore reale di (1+x)^m</math> (ciò che avviene se ) e che tra i valori, di cui può essere suscettibile, si sceglie quello reale e positivo.