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capitolo x — § 69

3° Dimostrare che:

$f(x)=f(0)+xf'(x)-.....+(-1)^{n+1}{\frac {x^{4}}{\lfloor {n}}}f^{(n)}(x)+R_{n}$,

ove:

$R_{n}=(-1)^{n+2}{\frac {x^{n+1}}{\lfloor {n+1}}}f^{(n+1)}(\delta \,x)$.

E scivere $R_{n}$ sotto forma analoga a quella di Cauchy

Ris. Si ponga $f(0==f(x-x)$.

4° Dimostrare che:

$f\left({\frac {x}{1+x}}\right)=f(x)-{\frac {x^{3}}{1+x}}f'(x)+.....+{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(1+x)^{n}}}{\frac {f^{(n)}(x)}{\lfloor {n}}}+R_{n}$,

ove:

$R_{n}={\frac {(-1)^{n+1}+x^{2n+2}}{(1-x)^{n+1}}}{\frac {1}{\lfloor {n+1}}}f^{(n+1)}\left(x-\theta \,{\frac {x^{2}}{1+x}}\right)$.

Ris. Si ponga ${\frac {x}{1+x}}=x+h$, ossia $h={\frac {x^{2}}{1+x}}$.

4° Applicheremo quanto abbiamo appena detto allo sviluppo in serie di qualche funzione. Vediamo, p. es., di sviluppare in serie di Taylor la funzione ${\text{sen}}\,x$.

Occorre anzitutto cercare le successive derivate di $f(x)={\text{sen}}\,x$ e calcolare il valore per $x=0$. Si ha:

$f'\,\,\,(x)=\,\,\,{\text{cos}}\,x$, per cui $f'\,\,\,\,(0)=\,\,1$

$f''\,\,(x)=\,-{\text{sen}}\,x$, per cui $f''\,\,\,(0)=\,\,0$

$f'''\,(x)=\,-{\text{cos}}\,x$, per cui $f'''\,\,(0)=\,-1$

$f''''(x)=\,\,\,{\text{sen}}\,x$, per cui $f''''(0)=\,\,0$

$.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.$

Essendo $f^{(4)}(x)=f(x)$ sarà $f^{(5)}(x)=f'(x).....$; cosicchè le derivate $f(x)={\text{sen}}\,x$ si riproducono periodicamente a quattro a quattro, ed in particolare si riprodurranno a quattro a quattro i valori che le successive derivate assumono per $x=0$ e che noi abbiamo precedentemente calcolati. Per la formola di Mac-laurin, supposto $n=2m$, cioè $n$ pari, abbiamo:

${\text{sen}}\,x=x-{\frac {1}{\lfloor {3}}}x^{3}+{\frac {1}{\lfloor {5}}}x^{5}-{\frac {1}{\lfloor {7}}}x^{7}+...\mp {\frac {1}{\lfloor {2m-1}}}x^{2m-1}+R_{n}(x)$ dove $R_{n}(x)=\pm {\frac {x^{2m+1}}{\lfloor {2m+1}}}{\text{cos}}(\theta \,x)$ soddisfa certamente alla $|R_{n}|\leq \,|{\frac {x^{2m+1}}{\lfloor {2\,m+1}}}|$, poichè $|{\text{cos}}(\theta \,x)\|\leq \,1$. Per passare dalla formola di mac-Laurin alla serie, basterò dimostrare che $R_{n}$ tende a zero quando $n=2m$ tende all'infinito; ciò è evidente