Lezioni di analisi matematica/Capitolo 10/Paragrafo 66

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 10 - Cerchio di convergenza

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[p. 207 modifica]

§66. — Cerchio di convergenza.

Diciamo serie di potenze' una serie del tipo

(1) $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+.....+a_{n}x^{n}+.....$

dove le $a_{n}$ sono costanti, $x$ si considera variabile.

Non escludiamo che le $a,x$ possano anche essere numeri complessi. Tali serie sono la più naturale generalizzazione dei polinomi.

Teor. Se (1) converge per $\mathrm {x=\alpha \not =0}$ , e se $\mathrm {\beta }$ è un numero positivo minore di $\mathrm {|\alpha |}$ , allora la serie (1) converge totalmente nel campo definito dalla:

$|x|\leq \beta$ .

Se (1) non converge per $\mathrm {x=A}$ , essa non può convergere per nessun valore di x, di modulo superiore ad A.

Dem. Se (1) converge per $x=\alpha$ allora (§ 42, ε, pag. 142)

$\lim _{n=\infty }|a_{n}\alpha ^{n}|=0$ .

Si potrà trovare un numero positivo $k$ maggiore di tutte le $|a_{n}\alpha ^{n}|$ ¹. Ora per $|x|\leq \beta$ si ha

$|a_{n}x^{n}|=\left|a_{n}\alpha ^{n}{\frac {x^{n}}{\alpha ^{n}}}\right|=|a_{n}\alpha ^{n}|\left|{\frac {x^{n}}{\alpha ^{n}}}\right|<k\left|{\frac {\beta }{\alpha }}\right|^{n}$ .

Poichè $\left|{\frac {\beta }{\alpha }}\right|<1$ , i termini di (1) hanno nel campo $|x|\leq \beta$ dei valori, il cui limite superiore non può superare rispettivamente $k,\,\left|{\frac {\beta }{\alpha }}\right|,\,k\left|{\frac {\beta }{\alpha }}\right|^{2},.....$ ; le quali costanti non sono che i [p. 208 modifica]termini di una progressione geometrica convergente. Quindi è dimostrata la prima parte del teorema.

E la seconda parte se ne deduce immediatamente. Se infatti (1) convergesse per un valore in modulo più grande di $A$ , allora (1) sarebbe assolutamente convergente per $x=A$ (secondo quanto abbiamo ora dimostrato). Ciò che è contro l'ipotesi.

Sia $R$ il limite superiore dei moduli di quei valori di $x$ per cui la serie (1) converge. Sarà $R=0$ soltanto se (1) converge solo per il valore $x=0$ . Sarà $R=\infty$ se esistono valori della $x$ in modulo grande a piacere, per cui la (1) converge.

Supponiamo $R\not =0,\,\infty$ .

Sia $k$ un qualsiasi numero positivo minore di $R$ . Esisterà un valore $x_{0}$ di $x$ tale che $k<|x_{0}|$ , che $|x_{0}|<R$ , e che per $x=x_{0}$ la (1) sia convergente. Per il nostro teorema la serie sarà totalmente convergente nel camp definito dalla $|x|\leq \,k$ .

In modo analogo si prova che per un valore $x_{1}$ della $x$ tale che $|x_{1}|>R$ la serie (1) non converge.

Osserviamo che il luogo dei punti $x$ per cui $|x|\leq \,k$ è un cerchio per ha per centro l'origine e per raggio $k$ .

Riassumento, concludiamo:

Per ogni serie (1) esiste un numero positivo R tale che, se x varia dentro un qualsiasi cerchio, che per centro l'origine e per raggio un numero k minore di R, ivi la serie è totalmente convergente

Invece la (1) non può convergere per i valori di x tali che il punto immagine sia esterno al cerchio che ha per centro l'origine e raggio R.

Questo cerchio (che ha per centro l'origine e per raggio $R$ ) si dirà il cerchio di convergenza di (1).

Nei punti interni la (1) converge, nei punti esterni non converge.

Naturalmente, se $R=0$ m non si può parlare di cerchi interni al cerchio di convergenza (che è ridotto al solo centro). E, se $R=\infty$ , non si può parlare di punti esterni al cerchio di convergenza. Salvo questa limitazione, il precedente teorema è vero in ogni caso.

Nulla si può dire in generale per il completamento di (1) sulla periferia del cerchio di convergenza.

Poichè $\sum a_{n}x^{n}$ converge e quindi ha uno e un solo valore per ogni numero $x$ realte o complesso, interno al cerchio di [p. 209 modifica]convergenza, noi potremo dire e diremo che, dentro tale cerchio, tale serie è funzione della variabile x reale complessa².

Poichè le nostre serie sono la più naturale estenzione dei polinomi, la precedente definizione è la più naturale generalizzione delle definizioni date al § 50, pag. 168.

Note

↑ Infatti, preso un numero $\epsilon >0$ ad arbitrio, si troverà nu $m$ tale che per $n>m$ sia $|a_{n}\alpha ^{n}|<\epsilon$ . Sarà soddisfatta la condizione del testo se si assume come numero $k$ un numero maggiore della pù grande tra le seguenti quantità:

$|a_{0}|,|a_{1}\alpha |,|a_{2}\alpha _{2}|,.....,|a_{m}a^{m}|,\epsilon$ .
↑ Per dare almeno un cenno del perchè si considerino come funzione di una variabile complessa $x$ soltanto i polinomi e le serie di potenze, ricorderò l'enunciato di un celebre e meraviglioso teorema di Cauchy:↵Se y è un numero (reale o complesso) che ha un valore determinato per ogni valore reale o complesso di una variabile x, quando il punto immagine di x è interno ad una regione R, se cioè la y è in R funzione della x, e se esiste ed è continua la sua derivata prima y', allora, se α è un qualsiasi punto di R, la y è sviluppabile in serie di potenze di $\mathrm {x-\alpha }$ . E tale sviluppabilità vale in tutti i punti interni al massimo cerchio che ha per centro il punto α e non contiene punti esterni ad ↵Il lettore, che si diletta di questioni teoriche, confronti questo semplice teorema coi teoremi ben più complicati che troveremo più avanti per la sviluppabilità in serie di potenze di una funzione di variabile reale x.

[1] Infatti, preso un numero $\epsilon >0$ ad arbitrio, si troverà nu $m$ tale che per $n>m$ sia $|a_{n}\alpha ^{n}|<\epsilon$ . Sarà soddisfatta la condizione del testo se si assume come numero $k$ un numero maggiore della pù grande tra le seguenti quantità:

$|a_{0}|,|a_{1}\alpha |,|a_{2}\alpha _{2}|,.....,|a_{m}a^{m}|,\epsilon$ .

[2] Per dare almeno un cenno del perchè si considerino come funzione di una variabile complessa $x$ soltanto i polinomi e le serie di potenze, ricorderò l'enunciato di un celebre e meraviglioso teorema di Cauchy:↵Se y è un numero (reale o complesso) che ha un valore determinato per ogni valore reale o complesso di una variabile x, quando il punto immagine di x è interno ad una regione R, se cioè la y è in R funzione della x, e se esiste ed è continua la sua derivata prima y', allora, se α è un qualsiasi punto di R, la y è sviluppabile in serie di potenze di $\mathrm {x-\alpha }$ . E tale sviluppabilità vale in tutti i punti interni al massimo cerchio che ha per centro il punto α e non contiene punti esterni ad ↵Il lettore, che si diletta di questioni teoriche, confronti questo semplice teorema coi teoremi ben più complicati che troveremo più avanti per la sviluppabilità in serie di potenze di una funzione di variabile reale x.

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