Non escludiamo che le possano anche essere numeri complessi. Tali serie sono la più naturale generalizzazione dei polinomi.
Teor.Se (1) converge per , e se è un numero positivo minore di , allora la serie (1) converge totalmente nel campo definito dalla:
.
Se (1) non converge per , essa non può convergere per nessun valore di x, di modulo superiore ad A.
Dem. Se (1) converge per allora (§ 42, ε, pag. 142)
.
Si potrà trovare un numero positivo maggiore di tutte le 1. Ora per si ha
.
Poichè , i termini di (1) hanno nel campo dei valori, il cui limite superiore non può superare rispettivamente ; le quali costanti non sono che i
↑Infatti, preso un numero ad arbitrio, si troverà nu tale che per sia . Sarà soddisfatta la condizione del testo se si assume come numero un numero maggiore della pù grande tra le seguenti quantità: