Le sfere omocentriche/V. L'ippopeda di Eudosso. Meccanismo delle stazioni e delle retrogradazioni/Proposizione VI

Questo testo è stato riletto e controllato.

Giovanni Virginio Schiaparelli - Le sfere omocentriche (1875)

Proposizione VI

Informazioni sulla fonte del testo

◄

V. L'ippopeda di Eudosso. Meccanismo delle stazioni e delle retrogradazioni - Proposizione V

V. L'ippopeda di Eudosso. Meccanismo delle stazioni e delle retrogradazioni - Proposizione VII

►

[p. 27 modifica]

Proposizione VI. Teorema. — Se, muovendosi le due sfere di moti uniformi e contrarj secondo le supposizioni fondamentali, ad ogni posizione che prenda il punto M si abbassi la perpendicolare MR sul piano diametrale (fig. 3.^a), il piede R di questa percorrerà con moto uniforme su di esso piano la circonferenza di un circolo tangente in O alla sfera, ed avente il diametro uguale alla saetta AS; e gli archi descritti da R su questo circolo avranno un’ampiezza doppia degli archi corrispondenti descritti da P sul proprio parallelo. [p. 28 modifica]

Nella fig. 6.^a, sia CD il piano ortogonale, OCO’D il piano diametrale, OO’ il piano fondamentale: A sarà rappresentativo dei poli della prima sfera, P del polo della seconda sfera finora designato con questa lettera: VV rappresenterà il circolo massimo indicato con APB nelle figure precedenti, e l’argomento sarà l’angolo OAP. Essendo M la posizione corrispondente del pianeta, E il polo di VV, ON il parallelo a VV condotto per O, abbiamo veduto, che M si trova sul parallelo ON. Il piede della perpendicolare abbassata dal pianeta M sul piano diametrale OCO’D in questa figura sarà rappresentato dallo stesso M: ed OM sarà la distanza di questo piede dal punto O, polo del piano ortogonale. Ora dal corollario della prop. V risulta, che questa distanza OM sta al diametro ON del parallelo in un rapporto costante. Il luogo dei punti M sarà dunque simile e similmente posto rispetto ad O, che il luogo dei punti N; sarà perciò un circolo tangente in O al circolo OCO’D. Ed è manifesto, che l’arco TM, il quale indica la distanza di M da T sul circolo, ha per misura il doppio dell’angolo NOO’, ossia il doppio dell’argomento PAO. Mentre dunque il polo P della seconda sfera descrive sul suo parallelo una circonferenza a partire dalla linea OA, il punto M descriverà nel medesimo senso due circonferenze sul circolo TO partendo da T. Siccome poi il rapporto costante di OM a ON è (Prop. V. Corall.) quello della saetta AS (fig. 3.^a) al diametro AB della sfera: ne concluderemo che OT è uguale alla saetta ora nominata AS: che è quanto ci proponevamo di dimostrare.

Corollario I. Se pel centro X del circolo OT si conduca una retta perpendicolare al piano diametrale, potremo dire che il pianeta descrive angoli uguali in tempi uguali intorno a questa retta.

Corollario II. Se immaginiamo da tutte le posizioni del pianeta condotte le corrispondenti perpendicolari al piano diametrale, queste formeranno nel loro insieme un cilindro retto, avente per base il circolo OT. E la curva descritta dal pianeta sopra una sfera fissa, concentrica alle due mobili, non è altro che l’intersezione di quella sfera con quel cilindro retto.

Corollario III. Facilmente ora si potrà costruire la distanza del pianeta dal piano fondamentale OO’ ad ogni momento. Basta sul circolo OT prendere, partendo da T, un arco TM di ampiezza doppia dell’argomento. La distanza del punto M dal diametro T esprimerà in grandezza ed in direzione la distanza domandata¹.

Dunque, anche questa distanza, come l’altra precedentemente considerata nella Prop. IV, segue nelle sue variazioni le leggi di un moto oscillatorio, ma quì il periodo è la metà del periodo che regola le variazioni della distanza dal piano diametrale.

Corollario IV. La retta OM ha un rapporto costante col diametro del parallelo ON. Sopra si è veduto, che la lunghezza della perpendicolare abbassata dal pianeta sul piano diametrale ha pure un rapporto costante con quel diametro (Prop. V ). Immaginando dunque un triangolo rettangolo, di cui un cateto sia la perpendicolare suddetta, l’altro sia la retta MQ, questi due cateti avranno fra di loro un rapporto costante; onde l’ipotenusa di tale triangolo (la quale congiungerà il pianeta col punto O) avrà coi detti cateti un rapporto pure costante, e l’angolo che tale ipotenusa fa col piano diametrale OCO’D sarà pure costante. Dunque le infinite rette condotte dal punto O a tutte le posizioni del pianeta hanno sempre la stessa inclinazione sul piano diametrale. E se per si conduca la retta perpendicolare al piano diametrale e tangente in O al circolo fondamentale OO’, questa retta, come ugualmente inclinata a tutte le precedenti, sarà l’asse di un cono retto da quelle formato. E facilmente si vedrà, che l’angolo di tal asse colle generatrici del cono è uguale alla metà dell’inclinazione.

Corollario V. Dunque la linea descritta dal pianeta M, durante una rivoluzione delle due sfere, sopra una terza sfera fissa concentrica alle prime può considerarsi come l’intersezione della sfera [p. 29 modifica]fissa col cono sopra descritto. Epperò questa linea avrà il pregio di risultare dalla intersezione simultanea e tripla dei 3 corpi rotondi, cioè di un cono, di un cilindro e di una sfera.

Corollario VI. Movendosi il punto M sulla circonferenza del circolo OT con moto uniforme, anche l’angolo MOT varierà con variazione uniforme. Quindi si può dire, che il pianeta si muove di moto angolare uniforme intorno all’asse del cono. Ed il pianeta nel suo corso serberà simultaneamente tre moti uniformi: uno intorno all’asse della seconda sfera, uno intorno all’asse del cilindro (V. qui sopra Coroll. I.), ed un terzo intorno all’asse del cono ora designato. Il primo asse è mobile nello spazio; gli altri due sono fissi e paralleli fra di loro.

Note

↑ Secondo le moderne espressioni, il diametro del circolo OT essendo uguale a $1-\cos {i}$ , ossia a $\textstyle 2\sin ^{2}{{\frac {1}{2}}i}$ , sarà il raggio di tal circolo $\textstyle \sin ^{2}{{\frac {1}{2}}i}$ ; dicendo $y$ la distanza del pianeta dal piano fondamentale, contata negativamente sotto questo piano, avremo l’espressione

$y=-\sin ^{2}{{\frac {1}{2}}i}$ , $\sin {2\theta }$ .

[1] Secondo le moderne espressioni, il diametro del circolo OT essendo uguale a $1-\cos {i}$ , ossia a $\textstyle 2\sin ^{2}{{\frac {1}{2}}i}$ , sarà il raggio di tal circolo $\textstyle \sin ^{2}{{\frac {1}{2}}i}$ ; dicendo $y$ la distanza del pianeta dal piano fondamentale, contata negativamente sotto questo piano, avremo l’espressione

$y=-\sin ^{2}{{\frac {1}{2}}i}$ , $\sin {2\theta }$ .

1