Le sfere omocentriche/V. L'ippopeda di Eudosso. Meccanismo delle stazioni e delle retrogradazioni/Proposizione III
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Proposizione III. Teorema. — Le stesse cose essendo poste (fig. 4), se dal pianeta M si abbassa l’arco MH perpendicolare sul circolo massimo diametrale COD, dico che questo arco sarà uguale all’arco simile OK abbassato da O perpendicolarmente su EM.
Infatti, se pel punto I, dove s’intersecano i circoli PM, OB, si conduca l’arco EI al polo E del circolo APB, i due triangoli OIE EIM saranno uguali, avendo il lato EI comune, gli angoli in O, M, retti, ed EO = EM (Prop. II.). Essi saranno simmetrici rispetto all’arco EI. Se dunque da M si abbassa perpendicolarmente MH, e da O, OK, questi due archi saranno anch’essi simmetricamente disposti rispetto ad EI, e fra loro uguali.
Corollario, Essendo B polo di OE, l’arco MH passerà per B; ed essendo P polo di EM, l’arco OK passerà per P. Sarà PK = BH, perchè ambo quadranti; quindi PO = BM. La distanza del pianeta dal polo fisso B è dunque ad ogni istante del movimento uguale alla distanza del polo mobile P dal punto O, polo fisso del circolo ABCD.