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Le operazioni del compasso geometrico e militare/Diversi modi per misurar con la vista

Diversi modi per misurar con la vista

../Delle operazioni del quadrante IncludiIntestazione 16 maggio 2008 75% Matematica

Delle operazioni del quadrante
DIVERSI MODI PER MISURAR CON LA VISTA;
E PRIMA, DELLE ALTEZZE PERPENDICOLARI, ALLA RADICE DELLE QUALI SI POSSA ACCOSTARE E DISCOSTARE.

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L’ultima circonferenza, divisa in 200 parti, è una scala per misurar altezze, distanze e profondità col mezo della vista. E prima, cominciando dall’altezze, mostreremo diverse maniere di misurarle, facendo principio dall’altezze perpendicolari, alla radice delle quali ci possiamo accostare. Come saria se volessimo misurar l’altezza della torre AB: venendo nel punto B, ci discosteremo verso C, caminando 100 passi o 100 altre misure, e fermatici nel luogo C, traguarderemo con una costa dello Strumento l’altezza A, come si vede secondo la costa CDA, notando i punti tagliati dal filo DI; i quali se saranno nel centinaio opposto all’occhio, come si vede nell’essempio proposto per l’arco I, quanti saranno detti punti, tanti passi (o altre delle misure che aremo misurate in terra) diremo contenere l’altezza AB. Ma se il filo taglierà l’altro centinaio, come si vede nella seguente figura, volendo misurar l’altezza GH, sendo l’occhio in I, dove il filo taglia i punti MO, allora, preso il numero di detti punti, divideremo per esso il numero 10000, e l’avvenimento sarà il numero delle misure che nell’altezza GH si conterranno: come, v. g., se il filo avesse tagliato il punto 50, dividendo 10000 per 50, aremo 200; e tante saranno le misure dell’altezza GH.

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E perché aviamo veduto che alle volte il filo segherà il centinaio opposto alla costa per la quale si traguarda, e tal volta ancora taglierà il centinaio contiguo a detta costa, e questo potrà avvenire in molte delle operazioni seguenti, però per regola universale s’avvertirà sempre, che quando il filo taglierà il primo centinaio contiguo a detta costa, si deve dividere 10000 per il numero tagliato dal filo, seguendo poi nel resto dell’operazione la regola che sarà scritta: per che noi ne gli essempi seguenti supporremo sempre che il filo tagli l’altro centinaio.

Ma acciò che tanto più si scorga la moltitudine de gli usi di questo nostro Strumento, voglio che i computi più laboriosi, che nelle regole per misurar con la vista ci occorreranno, siano senza fatica alcuna e con somma brevità ritrovati col mezo del compasso sopra le Linee Aritmetiche. E facendo principio dalla presente operazione, per quelli che non sapessero partire 10000 per quel numero tagliato dal perpendicolo, dico che si pigli rettamente sempre 100 dalle Linee Aritmetiche, e che trasversalmente s’accomodi al numero de i punti tagliati da esso perpendicolo, pigliando poi, pur trasversalmente, senza muover lo Strumento, la distanza tra i punti 100; la quale, misurata rettamente, ci darà l’altezza cercata. Come, v. g., se il filo avesse tagliato a 77, pigliando dalle Linee Aritmetiche 100 rettamente, applicalo trasversalmente al 77, e subito prendi, pur trasversalmente, l’intervallo tra i punti 100, e torna a misurarlo rettamente, e troverai contenere punti 130; e tante misure dirai contenersi nell’altezza che misurar volevamo.

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In altra maniera potremo misurar una simil altezza, senza obligarci a misurar in terra le 100 misure, nel modo che si farà manifesto. Come se, per essempio , volessimo dal punto C misurar l’altezza della torre AB, drizzando la costa dello Strumento CDE alla sommità A, noteremo li punti tagliati dal filo EI, quali siano, per essempio, 80; dipoi, senza muoverci di luogo, abbassando solamente lo Strumento, traguarderemo qualche segno più basso che sia posto nella medesima torre, come saria il punto F, notando il numero de i punti tagliati dal filo, il quale sia, v. g., 5; veggasi poi quante volte questo minor numero 5 sia contenuto nell’altro 80 (che è 16 volte): e 16 volte diremo la distanza FB esser contenuta in tutta l’altezza BA. E perché il punto F è basso, potremo tale altezza FB con un’asta o altro facilmente misurare, e così venir in cognizione dell’altezza BA. Avvertendo che, nel misurar l’altezze, noi ritroviamo e misuriamo solamente l’altezze sopra l’orizonte del nostr’occhio; tal che quando detto occhio sarà più alto della radice o base della cosa misurata, bisognerà aggiugner all’altezza trovata per via dello Strumento, quel tanto di più che l’occhio sopravanza detta radice.

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Il terzo modo di misurar una simile altezza sarà con l’alzarci ed abbassarci. Come, volendo misurar l’altezza AB, costituendo lo Strumento in qualche luogo elevato da terra, come saria nel punto F, traguarderemo secondo la costa EF il punto A, notando i punti G,I tagliati dal filo, quali siano, per essempio, 65; dipoi, scendendo al basso, e venendo perpendicolarmente sotto ’l punto F, come saria nel punto C, traguarderemo la medesim’altezza secondo la costa DC, notando i punti L,O, quali saranno più de gli altri, come, v. g., 70; dipoi prendasi la differenza tra questi due numeri 65 e 70, che è 5; e quante volte essa è contenuta nel maggior de i detti numeri, cioè in 70 (che vi sarà contenuta 14 volte), tante volte diremo l’altezza BA contenere la distanza CF: la quale misureremo, potendolo noi fare comodamente, e così verremo in cognizione di tutta l’altezza AB.

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E volendo noi misurar un’altezza la cui radice non si vedesse, come saria l’altezza del monte AB, sendo nel punto C, traguarderemo la sommità A, notando i punti I tagliati dal perpendicolo DI, i quali siano, per essempio, 20; di poi, accostandoci verso il monte 100 passi innanzi, venendo nel punto E, traguarderemo l’istessa sommità, notando i punti F, i quali siano 22: il che fatto devonsi multiplicare tra loro questi due numeri 20 e 22; fanno 440: e questo si divida per la differenza delli medesimi numeri, cioè per 2; ne viene 220: e tanti passi diremo esser alto il monte.

Il computo si troverà sopra lo Strumento, pigliando il minor numero de i punti tagliati rettamente sopra le Linee Aritmetiche, ed applicandolo poi trasversalmente alla differenza delli due numeri de i punti, pigliando in oltre trasversalmente l’altro numero de i punti, il quale, misurato rettamente, ci darà l’altezza cercata. Come se, per essempio, i punti tagliati fussero stati 42 e 58, preso 42 rettamente, buttisi trasversalmente alla differenza de i detti numeri, cioè al 16, o, non potendo, al suo doppio, triplo, quadruplo, etc.; sia al quadruplo, che è 64: e preso poi il 58, o il suo quadruplo, cioè 232, e misurato rettamente, ci darà 152 e un quarto, che è il proposito.

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Possiamo in oltre col medesimo Strumento misurare un’altezza posta sopra un’altra; come se volessimo misurare l’altezza della torre AB, posta sopra ’l monte BC. Prima, sendo nel punto D, traguarderemo la sommità della torre A, notando i punti tagliati dal filo EI, li quali siano, v. grat., 18; poi, lasciando un’asta piantata nel punto D, venghiamo avanti sin tanto che, traguardando la base della torre, cioè il punto B, il perpendicolo GO tagli il medesimo numero 18, il che sia quando saremo venuti al punto F; dipoi misurinsi i passi tra le due stazioni D, F, quali siano, per essempio, 130: e questo numero si multiplichi per i 18 punti; ne verrà 2340: il qual numero si divida per 100; ne viene 23 e due quinti: e tanti passi sarà alta la torre AB.

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Il computo sopra lo Strumento si farà col pigliar rettamente il numero de i passi, o quello de i punti, applicandolo poi trasversalmente al 100, prendendo poi l’altro pur trasversalmente, e misurandolo rettamente. Come se, v. g., i punti fossero stati 64 ed i passi 146, preso 64 rettamente, ed applicatolo trasversalmente al 100, e preso poi trasversalmente 146, e misuratolo rettamente, ci darà 93 e mezo in circa; quanta è l’altezza che si cercava.

Quanto alle profondità, due modi averemo per misurarle. Ed il primo sarà per misurar la profondità contenuta tra le linee parallele, come saria la profondità d’un pozzo, o vero l’altezza d’una torre, quando noi fussimo sopra di essa. Come, per essempio, sia un pozzo ABDC, contenuto tra le linee parallele AC, DB: e voltando l’angolo dello Strumento verso l’occhio E, si traguardi secondo la costa EF, in maniera che il raggio della vista passi per li punti B, C, notando il numero tagliato dal filo, il quale sia, verbi gratia, 5; e poi si consideri quante volte questo numero 5 entra in 100: e tante volte diremo la larghezza BA esser contenuta nella profondità BD.

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L’altro modo sarà per misurar una profondità della quale non si vedesse la radice; come se fussimo sopra ’l monte BA, e volessimo misurar la su’ altezza sopra ’l piano della campagna. In tal caso alziamoci sopra ’l monte, salendo sopra qualche casa, torre o albero, come si vede nella presente figura, e constituendo l’occhio nel punto F, traguarderemo qualche segno posto nella campagna, come si vede per il punto C, notando i punti tagliati dal filo FG, che siano, v. g., 32; dipoi, scendendo nel punto D, traguardisi il medesimo segno C con la costa DE, notando parimenti i punti A, I che siano 30; e presa la differenza di questi due numeri, cioè 2, veggasi quante volte entra nel minor delli due numeri; e veduto che vi entra 15 volte, diremo l’altezza del monte essere 15 volte più dell’altezza FD: la quale, potendola noi misurare, ci farà venire in notizia di quanto cercavamo.

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Passando al misurar le distanze, come saria una larghezza di un fiume, venendo sopra la ripa o altro luogo eminente, sì come nell’essempio si vede; nel qual, volendo noi misurar la larghezza CB, venendo nel punto A, traguarderemo con la costa AF l’estremità B, notando i punti D, E tagliati dal perpendicolo, quali siano, verbi gratia, 5; e quante volte questo numero entra in 100, tante volte diremo l’altezza AC entrare nella larghezza CB: misurando dunque quanta sia tale altezza AC, e pigliandola 20 volte, averemo la larghezza cercata.

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Possiamo in altro modo misurare una simile distanza. Come, per essempio, sendo noi nel punto A, vogliamo trovare la distanza sino al punto B: costituiscasi lo Strumento in piano, ed una delle sue coste sia drizzata verso il punto B, e secondo la dirittura dell’altra costa traguardisi verso il punto C, misurando verso la dirittura AC 100 passi o altre misure, e lascisi piantata nel punto A un’asta, ed un’altra si ponga nel punto C; dipoi, venendo nel punto C, si dirizzi una costa dello Strumento verso A, e per l’angolo C si traguardi il medesimo segno B, notando sopra il Quadrante qual punto venga segato dal raggio della vista, che sia il punto E; e preso tal numero, dividasi per esso 10000: e quello che ne verrà, sarà il numero de i passi o altre misure, che saranno tra il punto A ed il segno B.

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Ma quando non ci fusse permesso di poter moverci le 100 misure sopra una linea che facesse angolo retto col primo traguardo, in tal caso procederemo altrimenti. Come, v. g., essendo noi nel punto A, e volendo pigliare la distanza AB, né potendo caminare per altra strada che per la AE, la quale con la dirittura AB fa angolo acuto, per conseguire ad ogni modo il nostro intento, aggiusteremo una costa dello Strumento prima alla strada, come si vede per la linea AF, e senza mover lo Strumento, traguarderemo per l’angolo A il punto B, notando i punti tagliati dal raggio AD, quali siano, per essempio, 60; dipoi, lasciando nel punto A un’asta, ne faremo mettere sopra la linea AE un’altra lontana 100 passi, quale sia nel punto F, dove costituiremo l’angolo dello Strumento, aggiustando la costa EF all’asta A, e per l’angolo F traguarderemo il medesimo segno B, notando i punti G, I, quali siano, v. gra., 48. Volendo dunque da questi numeri 60 e 48 trovare la lontananza AB, multiplica il primo in se stesso; fa 3600; aggiugnili poi 10000; fa 13600: e di questo numero piglia la radice quadrata; sarà 117 in circa: e questa multiplica per 100; fa 11700; e finalmente dividi questo numero per la differenza delli due primi numeri 60 e 48, cioè per 12; ne verrà 975: e tanti passi senz’alcun dubio sarà la distanza AB.

Troverassi la calculazione di questa operazione sopra lo Strumento come nel sottoposto essempio s’espone. Siano, v. g., i punti tagliati da i due raggi, l’uno 74 e l’altro 36: e per trovare detto computo, aggiusta prima lo Strumento sì che le Linee Aritmetiche siano tra di loro ad angoli retti; il che farai col prendere 100 punti rettamente da esse, e questi applicare col compasso alle medesime trasversalmente, in maniera che, posta una delle aste nel punto 80, l’altra caschi nel 60 (e questa regola d’aggiustare le dette linee a squadra si tenga a memoria per altri bisogni): fatto questo, prendi la distanza trasversale tra ’l punto 100 ed il maggiore de i due numeri tagliati da i raggi, che qui è 74; la qual distanza presa devi aggiustare trasversalmente alla differenza de i due numeri de i punti tagliati da i raggi, che qui è 38; e se non potessi per la piccolezza di questo numero, serviti del suo doppio, triplo o quadruplo; e qui, per essempio, applicala al suo triplo, che è 114: ed immediatamente piglia la distanza pur trasversale tra li punti 100; la quale misurata rettamente, e presa una, due, tre o quattro volte, ti darà la distanza cercata. Misurala dunque nel presente essempio, e troveraila 109: sì che triplicata ti darà 327, quanta prossimamente è la distanza che misurar volevamo.

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Séguita che veggiamo il modo di misurar l’intervallo tra due luoghi da noi lontani: e prima diremo del modo quando da qualche sito potessimo vederli ambidue per la medesima linea retta. Come mostra il presente essempio: nel quale volendo noi misurar l’intervallo tra i punti B, A, stando nel punto C, di dove appariscono per la medesima linea CBA, prima, aggiustata un’asta dello Strumento a tale dirittura, si traguarderà per l’altro verso D, dove pianteremo un’asta lontana dal punto C 100 misure, avendone una simile piantata nel punto C; e venendo al luogo D, aggiusteremo una costa dello Strumento alla dirittura DC, traguardando per l’angolo D li due luoghi B, A, e notando i numeri tagliati da’ raggi, che siano, per essempio, 25 e 20; per i quali due numeri si deve dividere 10000: e la differenza delli due avvenimenti sarà la distanza BA.

Ma se volendo noi misurar la distanza tra i due luoghi C, D, non potessimo venir in sito tale che l’uno e l’altro ci apparisse per la medesima dirittura, in questo caso procederemo come appresso si dirà. Sia dunque che, stando noi nel luogo A, vogliamo investigare la lontananza tra i due luoghi C, D.

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Prima, aggiustata una costa dello Strumento al punto C, come si vede per la linea AEC, traguardisi per l’angolo l’altro punto D, notando i punti E, F tagliati dal raggio AFD, che siano, v. g., 20; e senza muover lo Strumento, si traguardi per l’altra costa verso ’l punto B, lasciando in A un’asta, ed un’altra facendone porre sopra la dirittura AB: di poi, caminando per tale dirittura, verremo in B, discostandoci dall’altr’asta tanto che, ricostituita una costa dello Strumento sopra la linea BA, l’altra costa ferisca il punto D, come apparisce per la linea BD; e dall’angolo B traguarderemo il punto C, notando il numero tagliato dal raggio BG, che sia, v. g., 15: finalmente si misureranno i passi tra le due stazioni A, B, quali siano, per essempio, 160. E venendo all’operazione aritmetica, prima si multiplicherà il numero de i passi tra le due stazioni, cioè 160 per 100; fa 16000: e questo si deve divider per i 2 numeri de i punti separatamente, cioè per 20 e per 15; e ne verranno i due numeri 800 e 1067: de i quali se ne deve pigliar la differenza, che è 267: e questa si deve multiplicar in se stessa; fa 71289: e questo numero si deve aggiugnere al quadrato del numero de i passi, cioè di 160, che è 25600; ed in tutto farà 96889: del qual numero si deve prendere la radice quadrata, che è 311: e tanti passi diremo essere tra li due luoghi C, D.

Come poi si possa ritrovare il computo sopra lo Strumento, faremo col sottoposto essempio manifesto. Siano, v. g., li due numeri tagliati da i raggi 60 e 34, ed il numero de’ passi 116. E venendo all’operazione, prendi sempre 100 dalle Linee Aritmetiche rettamente, ed applicalo trasversalmente al maggior numero de i due tagliati da i raggi, che qui è 60; e subito prendi pur trasversalmente il numero de i passi, che qui è 116, e questo intervallo accomoderai trasversalmente all’altro numero de i raggi, che qui è 34; e se non puoi, applicalo al suo doppio, triplo, quadruplo, o quello che più ti tornerà comodo: sia per ora al suo quadruplo, cioè al 136. Il che fatto, prendi trasversalmente il numero che è la differenza tra li due numeri de i raggi, che qui è 26; o pure piglia il suo doppio, triplo o quadruplo, secondo che poco fa si fece l’applicazione; onde in questo caso devi pigliare il suo quadruplo, cioè 104: e questa distanza misurerai rettamente, salvando in memoria il numero che essa conterrà, che nel presente essempio sarà 148. Aggiusta finalmente le Linee Aritmetiche a squadra al modo di sopra dichiarato: il che fatto, piglia trasversalmente l’intervallo tra ’l numero che salvasti in memoria ed il numero de i passi, cioè tra ’l 148 da una parte ed il 116 dall’altra; e questo misura rettamente, e troverai 188: quanta a punto è la distanza cercata DC.

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E finalmente, quando noi non potessimo moverci nella maniera che ricerca la passata operazione, potremo pure nondimeno trovare la lontananza tra due luoghi da noi distanti in altra maniera: ed il modo sarà tale. Sendo noi, per essempio, nel punto C, e volendo ritrovar la distanza tra i due luoghi A, B, prima, secondo alcuno de i modi dichiarati di sopra, misuriamo separatamente le distanze tra ’l punto C e l’ A, e l’altra tra l’istesso C ed il punto B, e sia, per essempio, la prima passi 850, e l’altra 530; e venendo nel segno C, aggiustando una costa dello Strumento al punto A, come si vede per la linea CDA, traguardisi per l’angolo C l’altro termine B, notando il numero de i punti D, E tagliati dal raggio, che siano, v. g., 15. Multiplica poi questo numero in se stesso; fa 225: ed a questo aggiugni 10000; fa 10225: del quale prendi la radice quadrata, che è 101: multiplica poi la minor distanza, cioè 530, per 100; fa 53000: il quale si divida per la radice pur ora trovata; ne viene 525: e questo multiplica per la maggior distanza, cioè per 850; fa 446250: il qual numero deve esser finalmente duplicato; fa 892500: dipoi devonsi multiplicar separatamente le due distanze ciascuna in se stessa; fanno 722500, e 280900: e questi numeri si devono congiugnere insieme; fanno 1003400: del qual numero si caverà quel duplicato di sopra, cioè 892500; resterà 110900: la cui radice, che è 347, sarà la distanza desiderata tra gli due luoghi A, B.

Con notabil diminuzione di fatica potremo fare il computo presente sopra le Linee Aritmetiche; ed il modo si farà con un essempio manifesto. Pongasi che la maggior distanza sia stata passi 230, e la minore 104, ed il numero de i punti tagliati dal raggio 58. Metti le Linee Aritmetiche a squadra, e posta un’asta del compasso nel punto 100, slarga l’altra in traverso sino al numero de i punti tagliati dal raggio, che qui è 58, e considera quanto è questo spazio misurato rettamente, e lo troverai esser prossimamente 116, il che salva in mente: piglia poi rettamente il detto numero 58, che fu de i punti tagliati dal raggio, ed apri lo Strumento sin che questa distanza s’aggiusti in traverso tra il punto del 100 e quello del 116, che salvasti in mente; e non movendo più lo Strumento, prendi col compasso la distanza trasversale tra li due numeri de i passi, cioè 230 e 104; e questa misurata rettamente, ti darà infine punti 150, quanta è veramente la distanza AB.

Queste sole regole per misurar con la vista ho giudicato, discreto lettore, bastar per ora aver descritte; non che secondo queste sole si possa col presente Strumento operare, essendocene moltissime altre, ma per non mi diffondere in lunghi discorsi senza necessità, essendo sicuro che qualunque di mediocre ingegno averà comprese le già dichiarate, potrà per se stesso ritrovarne altre, accomodate ad ogni caso particolare che occorrer gli potesse. Ma non solamente avrei potuto diffondermi più assai nelle regole del misurar con la vista, ma molto e molto più ampliarmi nel mostrare la resoluzione, posso dire, d’infiniti altri problemi di geometria e di aritmetica, i quali con le altre linee del nostro Strumento risolver si possono; poiché, e quanti ne sono tra gli Elementi di Euclide, ed in molti altri autori, vengono da me con brevissime e facilissime maniere risoluti. Ma, come da principio si è detto, la mia presente intenzione è stata di parlar con persone militari solamente, e di pochissime altre cose fuori di quelle che a simili professori appartengono, riservandomi in altra occasione a publicare, insieme con la fabrica dello Strumento, una più ampla descrizione de’ suoi usi.