Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici/Osservazioni varie e aggiunte

Questo testo è completo.

Guido Fubini - Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici (1900)

Osservazioni varie e aggiunte

Informazioni sulla fonte del testo

◄

Sulla rappresentazione Riemanniana di rette parallele e sulle superficie isocicliche

[p. 71 modifica]

Osservazioni varie e aggiunte.

Oltre alle questioni e agli esempii trattati nel presente lavoro, altri problemi ci si potrebbe proporre; p. es. di dare le forme tipiche degli elementi lineari delle immagini di Clifford di congruenze particolari (pseudosferiche, ecc.). Tutte questioni che risultano nello spazio ellittico assai più facili da trattarsi che le corrispondenti nello spazio piano a causa della proprietà già dimostrata che le immagini di Clifford determinano una congruenza. Noi perciò abbiamo solo risoluto, con processi però indiretti e di grandissima semplicità solo i casi più importanti di riconoscere cioè, dalle loro immagini, le congruenze normali e le congruenze $W$ ; abbiamo però sempre supposte le immagini di Clifford non degeneri. Che se una di queste fosse degenere allora affinchè la congruenza fosse normale sarebbe necessario che fosse degenere anche l’altra e si avrebbe la congruenza delle normali a una superficie di curvatura nulla, come già sappiamo. Ma possiamo dire di più:

“Se una sola delle immagini di Clifford si riduce a una curva $C$ , la congruenza è $W$ allora e allora soltanto che o la $C$ è una retta o le linee dell’altra immagine corrispondenti ai punti di $C$ sono [p. 72 modifica]geodeticamente parallele; se tutte e due le immagini di Clifford sono degeneri allora la congruenza è $W$ , ed è normale a una superficie a curvatura nulla„.

Quest’ultimo teorema dà una nuova proprietà proiettiva “caratteristica„ delle congruenze normali a una superficie a curvatura nulla; mentre finora si era dimostrata che l’avere le immagini degeneri era proprietà che distingueva queste congruenze soltanto dalle congruenze normali.

Questi teoremi si dimostrano subito: se le α, β, γ del §.12 sono funzioni della sola “ $u$ „, l’uguaglianza del §.12 diventa:

${\begin{vmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\{\frac {\partial \alpha }{\partial u}}&{\frac {\partial \beta }{\partial u}}&{\frac {\partial \gamma }{\partial u}}\\{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial u^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}\beta }{\partial u^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}\gamma }{\partial u^{2}}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial \alpha _{1}}{\partial v}}&{\frac {\partial \beta _{1}}{\partial v}}&{\frac {\partial \gamma _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial ^{2}\alpha _{1}}{\partial u\partial v}}&{\frac {\partial ^{2}\beta _{1}}{\partial u\partial v}}&{\frac {\partial ^{2}\gamma _{1}}{\partial u\partial v}}\\{\frac {\partial ^{2}\alpha _{1}}{\partial v^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}\beta _{1}}{\partial v^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}\gamma _{1}}{\partial v^{2}}}\end{vmatrix}}=0.$

Se è nullo il primo di questi due determinanti, allora $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ sono legati da una relazione lineare e la curva $C$ è una retta; se è nullo il secondo si riconosce tosto coi procedimenti del §. 12 che le $v=cost.$ risultano geodeticamente parallele.

Infine se $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , sono funzioni della sola $v$ , cioè se tutte e due le immagini di Clifford si riducono a una linea, è ben chiaro che la congruenza corrispondente è $W$ , perchè il secondo dei due determinanti precedenti si annulla; anzi la congruenza è proprio normale come si riconosce con ragionamenti analoghi a quelli del §. 16 e come ci si può anche convincere geometricamente.

Un’altra cosa da notare nel presente lavoro è forse la definizione dell’angolo di due rette sghembe; credo perciò non inutile il darne un’altra definizione equivalente, indipendentemente da ogni concetto di parallelismo.

Siano $a,b$ le due rette e, ciò che non scema la generalità, sia $a$ la retta che unisce il punto $(1,0,0,0)$ al punto $(0,0,0,1)$ ; e le perpendicolari comuni alla $a$ e alla $b$ siano la retta $\beta$ che va dal [p. 73 modifica]punto $(1,0,0,0)$ al punto $(0,1,0,0)$ e la retta $\gamma$ che da $(0,0,0,1)$ va al punto $(0,0,1,0)$ . La retta $b$ stacchi sulle rette $\beta$ , $\gamma$ a partire dai punti $(1,0,0,0)$ e $(0,0,0,1)$ rispettivamente segmenti di lunghezza $\varphi$ , $f$ ; la retta $b$ sarà la retta che unisce il punto $(\cos \varphi ,\operatorname {sen} \varphi ,0,0)$ al punto $(0,0,\operatorname {sen} f,\cos f)$ , E allora è facile costruire i parametri di scorrimento delle $a$ , $b$ ; e se con $w$ indichiamo l’angolo di queste due rette, sarà, come subito si vede, $\cos w=\cos(\varphi \pm f)$ a seconda del verso in cui l’angolo è misurato. Quindi:

Il coseno dell’angolo di due rette sghembe è uguale al coseno della somma o della differenza della loro minima e massima distanza, a seconda del senso in cui vien misurato.

E ne discende subito il teorema tante volte citato che l’angolo di due rette ammette una sola determinazione allora e allora soltanto che le due rette sono complanari.

Voglio qui notare espressamente che in tutto questo lavoro si è lasciata sempre impregiudicata la questione dell’orientazione di una retta e quindi della precisa determinazione dell’angola di due rette sghembe; questa maggior precisione fu per noi sempre inutile e si potrebbe del resto stabilire facilmente.

Devo inoltre aggiungere che io avevo già finito il presente lavoro, quando il prof. Bianchi mi comunicò che il sig. Study (Ueber Nicht-Euklidische und Linien-Geometrie; Greisfwald 1900 pag. 73-79) aveva trattato del parallelismo di Clifford. In queste pagine il signor Study partendo da punti di vista puramente geometrici enuncia e dà alcuni semplicissimi corollari dei seguenti due teoremi:

“L’insieme delle coppie di rette polari dello spazio curvo si può riferire all’insieme delle coppie di rette formate da una retta di una stella fissa e da una retta di un’altra stella fissa dello spazio piano; alle rotazioni dell’una o dell’altra di queste stelle corrispondono gli scorrimenti nell’uno o nell’altro verso dello spazio piano„.

“L’insieme delle rette orientate dello spazio ellittico si può immaginare riferito biunivocamente alle coppie di punti di una sfera euclidea, in modo che ai movimenti di una o dell’altra delle immagini corrispondono scorrimenti in un senso o nell’altro„. [p. 74 modifica]

L’applicazione dei nostri principii allo spazio iperbolico porterebbe a formule complicate di immaginarii; lo studio diretto del parallelismo di Lobatschewsky non sarebbe certo così simmetrico, perchè nello spazio iperbolico i due sensi secondo cui si possono tirare rette parallele non sono come per lo spazio ellittico ben distinti l’uno dall’altro.