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| Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici | 71 |
“Proprietà caratteristica delle rigate formate dalle binormali a una curva di torsione costante è che la sviluppabile formata dai piani tangenti alla rigata e all’assoluto abbia per spigolo di regresso un’assintotica detta rigata.
Ultimo problema da risolvere è quello di interpretare nella metrica euclidea i risultati ora ottenuti per le superficie isocicliche dello spazio piano. Ricordando i teoremi del §. 8, a cui appunto io giunsi per risolvere questa questione, abbiamo subito:
Il problema di trovare le superficie isocicliche dello spazio piano equivale a quello di trovare quelle coppie di curve a torsione costante ma distinta, dello spazio stesso, che si corrispondono punto a punto con uguaglianza di arco e di prima curvatura. La trasformazione di Razzaboni per queste dà una trasformazione delle superficie isocicliche.
Osservazioni varie e aggiunte.
Oltre alle questioni e agli esempii trattati nel presente lavoro, altri problemi ci si potrebbe proporre; p. es. di dare le forme tipiche degli elementi lineari delle immagini di Clifford di congruenze particolari (pseudosferiche, ecc.). Tutte questioni che risultano nello spazio ellittico assai più facili da trattarsi che le corrispondenti nello spazio piano a causa della proprietà già dimostrata che le immagini di Clifford determinano una congruenza. Noi perciò abbiamo solo risoluto, con processi però indiretti e di grandissima semplicità solo i casi più importanti di riconoscere cioè, dalle loro immagini, le congruenze normali e le congruenze ; abbiamo però sempre supposte le immagini di Clifford non degeneri. Che se una di queste fosse degenere allora affinchè la congruenza fosse normale sarebbe necessario che fosse degenere anche l’altra e si avrebbe la congruenza delle normali a una superficie di curvatura nulla, come già sappiamo. Ma possiamo dire di più:
“Se una sola delle immagini di Clifford si riduce a una curva , la congruenza è allora e allora soltanto che o la è una retta o le linee dell’altra immagine corrispondenti ai punti di sono geo-
