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13.4 - Il rapporto delle massime verosimiglianze 237

che, dicendoci quale è (almeno nel limite di grandi campioni) la forma di , ci mette comunque in grado di calcolare la significanza del test.

Illustriamo il metodo con un esempio: disponendo ancora di un campione di determinazioni indipendenti, provenienti da una popolazione normale di varianza nota, vogliamo applicarlo per discriminare tra l’ipotesi nulla che il valore medio abbia valore 0 () e quella che esso abbia valore differente ().

Il logaritmo della funzione di verosimiglianza è ancora dato dalla (13.1); e già sappiamo, dal paragrafo 11.3, che assume il suo massimo valore quando , per cui

.

Inoltre si riduce ad un unico punto, ; per cui

.

Dalla (13.9) si ricava

e la regione di rigetto è definita dalla ; ovvero (ricordando che ) da

e, posto

si accetterà se (e la si rigetterà se ).

In questo caso il teorema precedentemente citato afferma che

è distribuito asintoticamente come il ad un grado di libertà (cosa che del resto già sapevamo, vista l’espressione di ); per cui, indicando