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11.3 - Media pesata 175


11.3 Media pesata

Quando si abbiano a disposizione più determinazioni ripetute di una stessa grandezza fisica, sappiamo che da esse si può ricavare un valore unico da usare come risultato finale attraverso il calcolo della media aritmetica; questa (come già anticipato senza dimostrazione nel paragrafo 4.4) è la funzione dei dati con la distribuzione più stretta attorno al valore vero, e ci fornisce quindi la stima più verosimile di esso. Però questo presuppone che i dati, essendo considerati tutti allo stesso modo nella formula, posseggano la stessa precisione sperimentale: ad esempio che siano stati valutati dallo stesso sperimentatore, con lo stesso strumento e nelle stesse condizioni; in altre parole, che le misure provengano da un’unica popolazione.

Può capitare invece di disporre di più determinazioni della stessa grandezza fisica fatte da sperimentatori diversi, od in condizioni sperimentali differenti: e di voler ugualmente estrarre da queste valutazioni, affette da differenti errori, un valore unico da usare come risultato complessivo.

Facendo le ipotesi che tutte le misure siano tra loro statisticamente indipendenti, ed inoltre affette da errori casuali distribuiti secondo la legge di Gauss, la densità di probabilità corrispondente all’evento casuale costituito dall’osservazione degli valori si può scrivere (applicando il teorema della probabilità composta)

dove è il valore vero (ignoto) di , e le sono gli errori quadratici medi (supposti noti) delle diverse determinazioni.

La funzione di verosimiglianza è la

(cioè la densità di probabilità di cui sopra, nella quale il valore vero è sostituito dal parametro variabile ); e ricordiamo che essa rappresenta la densità di probabilità associata all’evento casuale consistente nell’essere il numero il valore vero della grandezza misurata, qualora di essa si siano ottenute le stime indipendenti , di errori rispettivi , supposte seguire la legge normale.

La stima più verosimile è quella che, rendendo massima , individua quel numero che, sulla base delle osservazioni disponibili, possiede la massima probabilità di coincidere con il valore vero: vedremo tra poco che la